故函数的值域是：[4，8]
【变式】已知
，求函数
的最值。
【解析】由已知
，可得
，即函数
是定义在区间
上的二
次函数。将二次函数配方得
，其对称轴方程
，顶点坐标
，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间
内，如图 2 所示。函
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数
的最小值为
，最大值为
。
【例 2】
图2
若函数 f (x) x2 2x 2,当x [t, t 1] 时的最小值为 g(t) ，（1）求函数
f (m)，b 1 (m n)(如图1)
当
时
f (x)max
f (n)，
2a b 1
2 (m n)(如图2)
2a 2
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f
(n)，b 2a
n(如图3)
f (x)min
f
(
b )，m 2a
b n(如图4) 2a
f (m)，b m(如图5)
2a
f
(n)，b 2a
n(如图6)
当
时
f (x)max
f
(
b 2a
)，m
b n(如图7) 2a
f (m)，b m((mn)(如图9)
f
(x) min
f
(n)，
2a 2ba
2 21 (m n)(如图10)
【例 4】 (1) 求 f ( x ) x2 2ax 1 在区间[-1,2]上的最大值。
显然函数的值域是： (,0) (0,)
【例 3】已知函数 y x 12 1 ， x 1,0,1,2，求函数的值域。
【解析】因为 x 1,0,1,2，而 f 1 f 3 3 ， f 0 f 2 0 ，
f 1 1所以： y 1,0,3
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为 x R ，则函数的值
（1） a 2 ；由图可知 f (x)max f (1)
（2） 2 a 2
；由图可知
f (x) max
f ( a) 2
（3） a 2 时；由图可知 f (x)max f (1)
f (1) , a 2
y最大
f
( a) , 2
2
a
2
f (1) , a 2
(a 1) , a 2
（3）当 t 1 1即 t 0 时， f (x)max
f (t) t 2 2t 3 ．
综上，
f
(x) max
t2 2, t
t 2 2t
1 2
3,t
1
2
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种 况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间 上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二 次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的 顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是 二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个 端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况 讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的 区间最值结合函数图象总结如下：
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a 1 即 a 1 时， f ( x ) f ( 2 ) 4a 5 ；
2
2
max
当 a 1 即 a 1 时， f ( x ) f ( 1 ) 2a 2 。
高中数学求函数值域解题方法大全
一、观察法：从自变量 x 的范围出发，推出 y f (x) 的取值范围。
【例 1】求函数 y x 1 的值域。
【解析】∵ x 0 ，∴ x 1 1 ， ∴函数 y x 1 的值域为[1, ) 。
y 1
【例 2】求函数 x 的值域。
1 0 【解析】∵ x 0 ∴ x
g(t)
（2）当 t [-3,-2]时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点
三分法）
【解析】(1)函数
，其对称轴方程为
，顶点坐标为（1，1），图
象开口向上。
图1 ①如图 1 所示，若顶点横坐标在区间
图2
图3
左侧时，有 ，此时，当
时，函数
取得最小值 ②如图 2 所示，若顶点横坐标在区间
2
2
max
综上所述：
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2a 2,a 1
f ( x)max
2
。
1
4a 5,a 2
(2)函数
y
(x
a 2
)2
a2 图象的对称轴方程为 x a ，应分 1
4
2
a 1， a 1 ，
2
2
a 1 即 2 a 2 ， a 2 和 a 2 这三种情形讨论，下列三图分别为 2
。 上时，有
时，函数取得最小值
。
③如图 3 所示，若顶点横坐标在区间
右侧时，有
，即
。当
，即
。当
时，函数取得最小值
(t 1)2 1,t 1
综上讨论，g(t)=
f
(x) min
1,
0
t
1
t 21 t 0
t2 1(t 0) (2) g(t) 1(0 t
t2 2t 2(t 1)
t (, 0] 时， g(t) t 2 1 为减函数 在[3, 2] 上， g(t) t 2 1 也为减函数
a2
；即
y最大
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g(t)min g(2) 5 ，
g(t)max g(3) 10 【例 3】 已知 f (x) x2 2x 2 ，当 x [t，t 1](t R) 时，求 f (x) 的最大值．
【解析】由已知可求对称轴为 x 1 ．
（1）当 t 1 时， f (x)max
f (t 1) t 2 2
．
（2）当 t ≤1 t 1 ，即 0 ≤t 1 时，．
0 ≤≤t 1 时 ， f (x)max
根据对称性 若 t t 1 1 即
2
f (t) t2 2t 3 ．
22
若 t t 1 1 即 1 t ≤1 时 ， f (x)max
2
2 22
f (t 1) t 2 ．
域为y| y 1。
二．
配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F(x) af 2 (x) bf (x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例 1】 求函数 y x2 2x 5, x [1, 2] 的值域。
【解析】将函数配方得：
1,2]时，
，当
时，
∵
由二次函数的性质可知：当 x=1 ∈[-