中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。

） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。

钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。

矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。

（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

（1）设 ,1,2,5)j x j =L （是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s tx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,1,2,5j x x x x x j +++=≥=L 4分（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.72600.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.82300.080.050.1f y y y y y y s ty y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+34561112453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

解：用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：30.25 1.375()0.5(1)(1)(3)342N x x x x x x x =+---- 3分 于是有30.25 1.375(4)(4)0.54434313422.7518.252177f N ≈=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=2分相应的误差估计式为：3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈ 2分四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y 对X 的线性回归方程。

（结果保留小数点后两位。

）293101=∑=i ix,81101=∑=i iy,∑==1012574i i iy x,95771012=∑=i ix,7011012=∑=i iy（2）对回归方程的显著性进行检验。

（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。

解：（１）29.38.1x y ==25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-⋅=-⨯⨯=∑ 22225741029.3992.1xx i L x nx =-=-⨯=∑222701108.144.9YY i L y ny =-=-⨯=∑ 4分200.7ˆ0.20230.20992.1xy xx L b L ==≈≈ ˆˆ8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-⨯≈ 回归函数为 ˆ() 2.170.20x x μ=+ 4分 （２）211ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428YY xYL bL n σ=-=-⨯=- 222ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54xYb L F σ⨯===，或 3.9T == 2分 0.050.01(1,8)(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 或0.050.01(8)(8)T t T t >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。

12分五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 300400..2401.5300,Z x x s tx x x x x x =++≤+≤≥≥解：第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)第五步： 正确写出结果，最优解**(15,10),8500Tx f ==…(2分)六、（本题10分）试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精度尽量高。

解：算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。

假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解：222161129124()21124ij SST x nx =-=-⨯=∑∑222221234666612911090.5200.5ij SSE x x x x x =----=-=∑∑ 10.5SSA AAT SSE =-=由于0.05(3,20) 3.10F F <=，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F 值给10分，结论正确给2分） 八、（本题16分）设方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783213121x x x x x x x（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量T x )0,0,0()0(=，用该方法求近似解)1(+k x，使3)()1(10-∞+≤-k k x x 。

解：（1）将原方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--8978793121321x x x x x x x ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。

5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=+++++98918791979191)1(1)1(3)1(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 5分（2）取T )0()0,0,0(=x ，用上述迭代格式计算得k )(1k x )(2k x )(3k x1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.99998304 0.9999960 0.9999995 0.9999996因(4)(3)30.000148910x x -∞-=<，故取近似解*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T xx ≈=。

6分*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。

6分。