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2012年(全国卷II)高考文科数学

2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A ={x |x 是平行四边形},B ={x |x 是矩形},C ={x |x 是正方形},D ={x |x 是菱形},则( )A .AB B .CB C .DC D .AD2.函数1y x =+x ≥-1)的反函数为( ) A .y =x 2-1(x ≥0) B .y =x 2-1(x ≥1) C .y =x 2+1(x ≥0) D .y =x 2+1(x ≥1) 3.若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A .π2 B .2π3 C .3π2 D .5π34.已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin2α=( ) A .2425-B .1225-C .1225D .2425 5.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,则该椭圆的方程为( )A .2211612x y += B .221128x y += C .22184x y += D .221124x y += 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( )A .2n -1B .13()2n -C .12()3n -D .112n -7. 6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A .240种B .360种C .480种D .720种8.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,122CC =E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A .2 BCD .19.△ABC 中,AB 边的高为CD .若CB u u u r =a ,CA u u u r=b ,a ·b =0,|a |=1,|b |=2,则AD u u u r=( )A .1133-a bB .2233-a bC .3355-a bD .4455-a b10.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A .14 B .35 C .34 D .4511.已知x =ln π,y =log 52,12=e z -,则( ) A .x <y <z B .z <x <y C .z <y <x D .y <z <x12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF=13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A .8B .6C .4D .3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.(x +12x)8的展开式中x 2的系数为__________. 14.若x ,y 满足约束条件10,30,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z =3x -y 的最小值为__________.15.当函数y =sin xx (0≤x <2π)取得最大值时,x =__________. 16.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为BB 1,CC 1的中点,那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.18.已知数列{a n}中,a1=1,前n项和23n nnS a+=.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.19.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,P A⊥底面ABCD,AC=P A=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC⊥平面BED;(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.20.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2) 求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.21.已知函数f(x)=13x3+x2+ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.22.已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-12)2=r2(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)数学(文)试题答案解析:1. B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集, ∴C B .2. A ∵1y x =+∴y 2=x +1, ∴x =y 2-1,x ,y 互换可得:y =x 2-1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0,故选A 项. 3.C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数,∴f (0)=±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z).∴φ=3k π+3π2(k ∈Z). 又∵φ∈[0,2π],∴当k =0时,3π2ϕ=.故选C 项. 4.A ∵3sin 5α=,且α为第二象限角, ∴24cos 1sin 5αα=-=--.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项. 5. C ∵焦距为4,即2c =4,∴c =2.又∵准线x =-4,∴24a c-=-.∴a 2=8.∴b 2=a 2-c 2=8-4=4.∴椭圆的方程为22184x y +=,故选C 项.6.B 当n =1时,S 1=2a 2,又因S 1=a 1=1, 所以212a =,213122S =+=. 显然只有B 项符合.7. C 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为14A ,剩余5人进行全排列:55A ,故总的情况有:14A ·55A =480种.故选C项.8. D 连结AC 交BD 于点O ,连结OE , ∵AB =2,∴AC =又1CC =AC =CC 1.作CH ⊥AC 1于点H ,交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知, CM ⊥OE ,M 为C H 的中点.由BD ⊥AC ,EC ⊥BD 知,BD ⊥面EOC , ∴CM ⊥BD .∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离.又△AC C1为等腰直角三角形,∴CH=2.∴HM=1. 9.D∵a·b=0,∴a⊥b.又∵|a|=1,|b|=2,∴||AB=u u u r∴||5CD==u u u r.∴||5AD==u u u r.∴4444()5555AD AB AB===-=-u u u r u u u r u u u ra b a b.10.C设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,∴2m-m=.∴m又24c==,∴由余弦定理可得cos∠F1PF2=2221212||||432||||4PF PF cPF PF+-=.11.D∵x=ln π>1,y=log52>1log2=,121e2z -==>=,且12e -<e 0=1,∴y <z <x . 12. B 如图,由题意:tan ∠BEF =12, ∴2112KX =,∴X 2为HD 中点, 2312X D X D =,∴313X D =, 4312X C X C =,∴413X C =, 5412X H X H =,∴512X H =, 5612X A X A =,∴613X A =,∴X 6与E 重合,故选B 项. 13.答案:7 解析:∵(x +12x )8展开式的通项为T r +1=8C r x 8-r(12x)r =C r 82-r x 8-2r,令8-2r =2,解得r =3.∴x 2的系数为38C 2-3=7.14.答案:-1解析:由题意画出可行域,由z =3x -y 得y =3x -z ,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过A (0,1)时,z 最大.∴z max =3×0-1=-1. 15.答案:5π6解析:y =sin xx =1π2(sin cos )2sin()223x x x -=-. 当y 取最大值时,ππ2π32x k -=+,∴x =2k π+5π6. 又∵0≤x <2π,∴5π6x =. 16.答案:35解析:设正方体的棱长为a .连结A 1E ,可知D 1F ∥A 1E ,∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角, 在△AEA 1中,2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17.解:由A ,B ,C 成等差数列及A +B +C =180°,得B =60°,A +C =120°.由2b 2=3ac 及正弦定理得2sin 2B =3sin A sin C , 故1sin sin 2A C =.cos(A +C )=cos A cos C -sin A sin C =cos A cos C -12, 即cos A cos C -12=12-,cos A cos C =0, cos A =0或cos C =0,所以A =90°或A =30°.18.解:(1)由2243S a =得3(a 1+a 2)=4a 2,解得a 2=3a 1=3; 由3353S a =得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3,解得a 3=32(a 1+a 2)=6. (2)由题设知a 1=1.当n >1时有a n =S n -S n -1=12133n n n n a a -++-, 整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1=1,a 2=31a 1,a 3=42a 2,… a n -1=2n n -a n -2,a n =11n n +-a n -1. 将以上n 个等式两端分别相乘,整理得(1)2n n n a +=. 综上,{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19.解法一:(1)证明:因为底面ABCD 为菱形,所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD , 所以PC ⊥BD . 设AC ∩BD =F ,连结EF .因为AC =P A =2,PE =2EC ,故PC =EC =,FC =从而PC FC =,ACEC=,因为PC ACFC EC=,∠FCE =∠PCA , 所以△FCE ∽△PCA ,∠FEC =∠P AC =90°, 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ,EF 都垂直,所以PC ⊥平面BED .(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ,G 为垂足.因为二面角A -PB -C 为90°,所以平面P AB ⊥平面PBC . 又平面P AB ∩平面PBC =PB ,故AG ⊥平面PBC ,AG ⊥BC . BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ,AG 都垂直, 故BC ⊥平面P AB ,于是BC ⊥AB ,所以底面ABCD 为正方形,AD =2,2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ,且AD 平面PBC ,BC 平面PBC ,故AD ∥平面PBC ,A ,D 两点到平面PBC 的距离相等,即d =AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α,则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二:(1)证明:以A 为坐标原点,射线AC 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设C (0,0),D ,b,0),其中b >0,则P (0,0,2),E (3,0,23),B b,0).于是PC uuu r =(0,-2),BE u u u r =(3,b ,23),DE u u u r =(3,-b ,23),从而0PC BE ⋅=u u u r u u u r ,0PC DE ⋅=u u u r u u u r , 故PC ⊥BE ,PC ⊥DE .又BE ∩DE =E ,所以PC ⊥平面BDE .(2)AP u u u r =(0,0,2),AB u u u r=b,0).设m =(x ,y ,z )为平面P AB 的法向量,则m ·AP u u u r =0,m ·AB u u u r =0,即2z =0-by =0,令x =b ,则m =(b ,0).设n =(p ,q ,r )为平面PBC 的法向量,则n ·PC uuu r =0,n ·BE u u u r=0,即20r -=且2033bq r ++=,令p =1,则r =q b =-,n =(1,b-).因为面P AB ⊥面PBC ,故m·n =0,即20b b-=,故b =于是n =(1,-1),DP u u u r=(,,2),1cos ,2||||DP DP DP ⋅==u u u ru u u r u u u r n n n ,〈n ,DP u u u r 〉=60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ,DP u u u r〉互余,故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20.解:记A i 表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,i =0,1,2;B i 表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i 分,i =0,1,2; A 表示事件:第3次发球,甲得1分;B 表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;C 表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先. (1)B =A 0·A +A 1·A ,P (A )=0.4,P (A 0)=0.42=0.16,P (A 1)=2×0.6×0.4=0.48, P (B )=P (A 0·A +A 1·A ) =P (A 0·A )+P (A 1·A ) =P (A 0)P (A )+P (A 1)P (A )=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(2) P (B 0)=0.62=0.36,P (B 1)=2×0.4×0.6=0.48,P (B 2)=0.42=0.16,P (A 2)=0.62=0.36. C =A 1·B 2+A 2·B 1+A 2·B 2 P (C )=P (A 1·B 2+A 2·B 1+A 2·B 2) =P (A 1·B 2)+P (A 2·B 1)+P (A 2·B 2) =P (A 1)P (B 2)+P (A 2)P (B 1)+P (A 2)P (B 2)=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2. 21.解:(1)f ′(x )=x 2+2x +a =(x +1)2+a -1.①当a ≥1时,f ′(x )≥0,且仅当a =1,x =-1时,f ′(x )=0,所以f (x )是R 上的增函数;②当a <1时,f ′(x )=0有两个根x1=-1x 2=-1当x ∈(-∞,-1时,f ′(x )>0,f (x )是增函数; 当x ∈(-11时,f ′(x )<0,f (x )是减函数;当x ∈(-1∞)时,f ′(x )>0,f (x )是增函数. (2)由题设知,x 1,x 2为方程f ′(x )=0的两个根, 故有a <1,x 12=-2x 1-a ,x 22=-2x 2-a . 因此f (x 1)=13x 13+x 12+ax 1=13x 1(-2x 1-a )+x 12+ax 1=13x 12+23ax 1 =13(-2x 1-a )+23ax 1=23(a -1)x 1-3a . 同理,f (x 2)=23(a -1)x 2-3a .因此直线l 的方程为y =23(a -1)x -3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0),得02(1)ax a =-, 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----. 由题设知,点(x 0,0)在曲线y =f (x )上,故f (x 0)=0, 解得a =0或23a =或34a =.22.解:(1)设A (x 0,(x 0+1)2),对y =(x +1)2求导得y ′=2(x +1), 故l 的斜率k =2(x 0+1).当x 0=1时,不合题意,所以x 0≠1. 圆心为M (1,12),MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′=-1, 即2(x 0+1)·2001(1)21x x +--=-1,解得x 0=0,故A (0,1), r =|MA |=,即2r =. (2)设(t ,(t +1)2)为C 上一点,则在该点处的切线方程为y -(t +1)2=2(t +1)(x -t ),即y =2(t +1)x -t 2+1.若该直线与圆M 相切,则圆心M=化简得t 2(t 2-4t -6)=0,解得t 0=0,12t =22t =抛物线C 在点(t i ,(t i +1)2)(i =0,1,2)处的切线分别为l ,m ,n ,其方程分别为y =2x +1,①y =2(t 1+1)x -t 12+1,② y =2(t 2+1)x -t 22+1,③ ②-③得1222t t x +==.将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距离d==.。

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