有唯一解、无穷多解、无解？并在有无穷多解的情况下写出解的结构表达式.
1 0 1 2 四、 （10 分）设矩阵 A 0 5 0 , 且满足 AX 4 E A 2 X ，求未知矩阵 X . 1 0 4
五、 （20 分）设二次型 f x1 , x2 , x3 x1 4x2 x3 4x1x2 8x1x3 4x2 x3 ，
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七、(20 分) 已知向量组
1 = 1，， 2 1，-2 ， 2 = 2，， 3 1， 0 ， 3 = 1,1, 0, 2
T T
T
1 = 1， 1， 1， 1 ， 2 = 1，2，0，-1
T
T
求（1） W1 W2 的基与维数；
（2） W1 W2 的基与维数.
其中 W1 span 1 ,2 ,3 ， W2 span 1, 2 .
八、 (20 分) 在 R
22
中设 M
1 2 ,令 0 3
X XM MX ， X R 22
则 是 R
22
的一个变换.
22
（1） 证明 是 R
2 2 2
求： （1） f x1 , x2 , x3 对应的矩阵 A ，并计算矩阵 A 的特征值与特征向量； （2）一个正交变换 X QY ,化二次型 f x1 , x2 , x3 为标准形.
1 2 6 六、(15 分) 设矩阵 A 1 0 3 , 求 A 的不变因子，初等因子及 Jordan 标准形. 1 1 4
（3） 设 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 是一个秩为 n 的二次型，证明： 存在 R 的一个
n
1 (n s ) 维子空间 2
，使对任意向量 ( x1 , x2 ,..., xn ) V1 ，有 f ( x1 , x2 ,..., xn )=0 . V1 （其中 s 为符号差）
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二、(10 分) 证明：在 Q x 中，如果 x x 1 f1 ( x ) xf 2 ( x ) ，那么 f1 (1) 0且f 2 (1)=0.
2 3 3
三、(15 分) k 取何值时，线性方程组
2 x1 x2 x3 2 x1 2 x2 x3 k x x 2x k 2 3 1 2
桂林电子科技大学 2017 年硕士研究生统一入学考试试题
科目代码:
601
科目名称:
高等代数
A卷
注意：答案必须全部写在答题纸上，写在试题上无效；答案要标注题号，答题纸要填写姓名和考号，并标注页 码与总页数；
一、 （10 ) 计算 n 阶行列式
1 2 Dn 3 n
2 3 4 1
3 4 5 2
n 1 2 n 1
的一个线性变换；
（2） 求 的核 1 O 的维数和一组基. 九、(30 分) 证明下列各题
（1） 设 n 阶矩阵 A 满足 A 0 ，则称矩阵 A 为幂零指数是 k 的幂零阵，证明：幂零矩阵
k
的特征值均为数 0. （2） 设 V1 , V2 是 n 维欧氏空间的线性子空间，且 V1 的维数小于 V2 的维数，证明： V2 中必 有一非零向量正交于 V1 的所有向量.