1 2 1 r 1 2 1 r 0 1 1 r 0 1 1
1 1 2
2 1 1
0 0 0
0 0 0
1 得基础解系： 3 1 ； 1
分）
单位化得
1
3
p3
1
3 1
3
；
………………（10
1
2
得到正交矩阵
P
1 2
0
1 6
1
6 2
6
1
3
1
3 1
3
量的个数为
。
５．已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (k 1)x12 (k 1)x22 (k 3)x32 正定，则数 k 的
取值范围为________。 三、综合题（60 分）
1 234 2341 1.（10 分）计算行列式： D 3412 4123
姓名 装订线
班级
考场 装订线
4. 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 A2 1 必有一个特征值等于
（
）
装订线
山东建筑大学试卷
3.（10 分）设向量组
共 4 页第 2 页
1 2,3,1,2T ,2 1,1,4,0T ,3 3,3,12,0T ,4 5,10,1,6T ；
求该向量组的秩 R1 , 2 , 3 , 4 ，并求出该向量组的一个最大无关组.
学号
1 0 1
2．（10 分）设 A 和 B 都是 3 阶方阵 AB E A2 B ，若 A 0 2 0 ，
4.解
A,
b
1
1
1
3 r 1
1
1
3
1 1 1
1 1
1 0
1 1
1
r 0
3
0 2 1
1 1 1 r 0
3
………………………………
0 0 3 1 3
…（6 分）
（1）当 0 且 3时，RA RA,b 3，方程组有惟一解；……………
）
(A) k|A|；
(B) |k||A|； (C) k n |A|； (D) | k |n |A| 。
x1 x2 a
2.线性方程组
x2
x3
2a 有解的充分必要条件为
a=
(
)
x3 x1 1
(A) 1；
(B ) 1 ； 3
(C) 1 ； 3
(D)1。
3. 向量组1, 2 ,, s s 2 线性无关的充分必要条件是（
＝ 12 2
A的特征值为： 1 2 1； 3 2
分）
当 1 2 1时 解方程 A Ex 0
…………………………………（5
1 AE 1
1 1
1 1
r
1 0
1 0
1
0 。
1 1 1
0 0 0
1
1
得基础解系：1 1, 2 0 。 将1, 2 正交化得
装订线
学号
山东建筑大学试卷
2010 至 2011 学年第 2 学期 课程名称： 线性代数 （A）卷 年级： 2009 专业：
题号 一 二 三 四 分数
考试时间： 120 分钟 考试形式：（闭卷）
；层次：（本） 总分
一、选择题（4 分×5＝20 分）
1. 设 k 为常数，A 为 n 阶矩阵，则|kA|=（
）
(A) 1, 2 ,, s 均不为零向量；
(B) 1, 2 ,, s 中任意两个向量不成比例；
(C) 1, 2 ,, s 中任意 s 1个向量线性无关；
(D) 1, 2 ,, s 中任意一个向量均不能由其余的 s 1个向量线性表示。
(A) 1 ； 4
(B) 1 ； 2
共 4 页第 1 页
(C) 2 ；
姓名 装订线
学号
装订线
装订线
山东建筑大学试卷
5.（15 分）设实二次型 f x1, x2 , x3 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
（1）将二次型用矩阵形式表示；
（2）求正交变换 x Py ，化二次型 f x1, x2 , x3 为标准形；
（3）求该二次型在 x x12 x22 x32 1时最小值。
(D) 4 。
5. 设 Ax b 是一非齐次线性方程组,1,2 是其任意两个解,则下列结论错
误的是
（A）1
2 是 Ax 0 的一个解；
（B）
1 2
1
1 2
2
是
Ax
b
的一个解；
（C）1 2 是 Ax 0 的一个解； （D） 21 2 是 Ax b 的一个解。
二、填空题（4 分×5＝20 分）
，
所求正交变换为：
x1 y1 x x2 P y2 y
x3 y3
得二次型标准型
f
x1x2 x3
y12
y
2 2
2 y32 …
……………………..…………（12
分）
（3）由于正交变换不改变向量的长度，故当 x 1时， y 1，
而 y12
y
2 2
2 y32 只有当
y1
y2
0, y3
1 0 1
求B。
姓名 装订线
装订线
姓名 装订线
学号
装订线
装订线
山东建筑大学试卷
1 x1 x2 x3 0
4（15
分）设线性方程组
x1
1 x2
x3
3
，问
取何值时，此方程组（1）
x1
x2
1 x3
有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解。
共 4 页第 3 页
0 0 0 0
则
x1 x2
x3 1, x3 2,
，令
x3
c
，得方程的通解为
x1 1 1 即 x2 c1 2 ，（ c R ）
x3 1 0
（15 分）
……………………………………………
0
5.解（1）f x1, x2 , x3 x1x2 x3 1
1 1 x1 0 1 x2 ；………………………………
8 160 …………………………………
4 4
4 0 4
（10 分）
2.解 由 AB E A2 B 得
AB B A2 E
A EB A EA E………………………………（5 分）
001 A E 0 1 0 1 0
A E 可
100
逆。 ……………………………（7 分）
2 0 1 B A E 0 3 0
1234
12 3 4
2341 1341
D
10
……………………..…..………………（5
3412 1412
4123 11 23
分）
12 3 4
1 1 3
0 1 1 3
10
=10 1 3 1 ………………………………….……..
0 1 3 1
3 1 1
0 3 1 1
(8 分)
1 1 3
10 4
0 8 101 4
1 0 2
分）
…………………………………….……（10
2 1 3 51 4 12 1源自3.解12
3
4
3 1 2
1 4 0
3 12 0
10
1 6
r
2
3 2
1 1 0
3 3 0
5 106
1 4 12 1
1 4 12 1
r
0 0 0
1 1 1
3 3 3
1 11
r
0
0 0
1 0 0
１．设 2,1,2T , 1,2,2T , 2,2,tT 线性相关，则 t
.
２．若向量组1, 2 ,3 与向量组 l1 2 , 2 3 , m3 1 都线性无关。
则常数 l 与 m 必满足关系式
。
３．设
A
1, 2 ,3 为正交阵，则 21T1
3
T 2
3
。
４．设 n 元齐次线性方程组 x1 2x2 nxn 0 ，则它的基础解系中所含向
1 1 0 x3
（3 分）
0 1 1 （2） 二次型矩阵 A 1 0 1 ，
1 1 0
1 1 1 0
1 0
A E 1 1 ＝ 1 1 (1 ) 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 0
1 1
1 ＝ 1
1
＝
2 1 0
2 1
1 1 2
3 0 0
1
0 0
……………………………
……（6 分）
R1 23 4 2 ……………………………………………………………………
（8 分）
1 ， 2 (或1, 3 ，或1, 4 ……)即为该向量组的一个最大无关组…….……（10
分）
（注：向量组的最大无关组答案不惟一）
1 1 1 0
1 1 1
（8 分）
（2）当 0 时， RA 1 RA,b 2 ，方程组无解；………………………
（10 分）
（3）当 3 时，RA RA,b 2 ，方程组有无穷多解 …………………
（12 分）.
1 1 2 3
1 0 1 1
这时， A,b
r
0
3
3
6 r 0 1 1 2
0 0 0 0
1时，才能取得最小值。
故当 x 1时，二次型的最小值为—2….………………………………………（15
分）
0
1
1
1 1 1; 2 0
2
1 2
；………………………………..…………