无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学I 卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.） 1．已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =，则实数m = ．2．若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 3．某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ． 4．已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线1:210l x y +-=，2:30l ax by -+=，则直线12l l ⊥的概率为 ．5．根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为 ． 6．直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．7．已知变量,x y 满足242x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，目标函数3z x y =+的最小值为5，则c 的值为 ．8．函数cos(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=-的图像重合，则ϕ= ．9．已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且4a ，54，72a 成等差数列，则12na a a ⋅⋅⋅的最大值为 ．10．过圆2216x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为 ．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为 ．12．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3A π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若||||AB NB AM AN -=-，则AM AN ⋅= ．13．已知函数()f x =2212211,211log (),22x x x x x x ⎧+-≤-⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩，2()22g x x x =---.若存在a R ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是 ．14．若函数2()(1)||f x x x a =+-在区间[1,2]-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分）如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，2DE AF = （1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求证：//AC 平面BEF ．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，C=2A ． （1）求cosB 的值；（2）若24ac =，求ABC ∆的周长．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=．（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD 设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线P A 的方程；（3）求过点B ，C ，P 的圆方程（结果用t 表示）.已知数列{}n a 满足121111(1)(1)(1)n na a a a ---=，*n N ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项的和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数,p q 的值； （3）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x R ∈，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.数学II （加试题）21．选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵34A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为112α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，属于特征值2λ的一个特征向量为23α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是122x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，且直线l 与圆C相交，求实数m 的取值范围．23．某公司有,,,A B C D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，,B C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知,A D 两辆汽车每天出车的概率为34，,B C 两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望.24．在四棱锥P ABCD -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=︒，//AD BC ，E 是线段AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，已知22DA AB BC ===． （1）求二面角P CD AB --的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得EM ⊥平面PCD .参考答案一、填空题1．3 2．6 3．47 4．1125．21 6．50π 7．5 8．6π9．1024 10．19 11．答案：8 12．答案：6 13．答案：(2,0)-14．答案：7(,1][,)2-∞-+∞二、简答题（本大题共6小题，共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥. 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为DE BD D ⋂= 所以AC ⊥平面BDE . （2）证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结,FG OG ，所以，1//2OG DE 且12OG DE =.因为//AF DE ，2DE AF =，所以//AF OG 且AF OG =， 从而四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ， 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .16．解：（1）因为3cos 4A =， 所以2cos cos 22cos 1C A A ==-2312()148=⨯-=.在ABC ∆中，因为3cos 4A =，所以sin 4A =，因为1cos 8C =，所以sin C ==，所以9cos cos()sin sin cos cos 16B A B A B A B =-+=-=. （2）根据正弦定理sin sin a c A C =，所以23a c =， 又24ac =，所以4a =，6c =.2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =.所以ABC ∆的周长为15. 17．解：（1）由题意，3CAP πθ∠=-，所以3CP πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度()1cos 3f πθθθ=-+-cos 13πθθ=--++，03πθ<<，因为当03πθ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，所以()f θ在(0,)3π上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >， 则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03πθ<<，'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6πθ=， 当06πθ<<时，'()0g θ<，当63ππθ<<时，'()0g θ>.所以，当6πθ=时，()g θ最小.答：当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.18．解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，所以222a c =，b c =， 所以直线DB的方程为y x b =+， 又O 到直线BD的距离为3=， 所以1b =，a =所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设)P t，0t>，直线PA的方程为y x=+，由2212xyy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t+++-=，解得：Cx=，则点C的坐标是24)4tt+，因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，21424AOCtSt∆==+，12PBCS t∆=⨯⨯=，则32244t t=+，解得t=.所以直线PA的方程为20x y-+=.（3）因为B，)P t，2224(,)44tCt t++，所以BP的垂直平分线2ty=，BC的垂直平分线为2224ty xt=-+，所以过,,B C P三点的圆的圆心为2)2t，则过,,B C P三点的圆方程为222(()2tx y+-42222(4)4t tt=++，即所求圆方程为22x x y+284tyt-+=+.19．解：（1）因为121111(1)(1)(1)n na a a a ---=，*n N ∈， 所以当1n =时，11111a a -=，12a =， 当2n ≥时， 由1211(1)(1)a a --11(1)n n a a -=和12111111(1)(1)(1)n n a a a a -----=， 两式相除可得，111n n na a a --=，即11(2)n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎪⎨=⎪⎩，于是654p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩，或546p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩. 当654p qa S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，16(3)542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546pq a S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，154(3)62p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k *()m a m N =∈， 1m =+，平方并化简得，22(22)(23)63m k +-+=， 则(225)(221)63m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =或5m =，3k =，3m =，1k =-（舍去），综上所述，3k =或14.20．解（1）设切点为00(,)x y ，'()(31)x f x e x =+，则切线斜率为00(31)xe x +， 所以切线方程为0000(31)()x y y e x x x -=+-，因为切线过(2,0)，所以00000(32)(31)(2)x x e x e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =. 当00x =时，切线方程为2y x =-， 当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-. （2）由题意，对任意x R ∈有e (32)(2)x x a x -≥-恒成立， ①当(,2)x ∈-∞时，max (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≥⇒≥--， 令(32)()2x e x F x x -=-，则22(38)'()(2)x e x x F x x -=-，令'()0F x =得0x =，max ()(0)1F x F ==，故此时1a ≥.②当2x =时，恒成立，故此时a R ∈.③当(2,)x ∈+∞时，min (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≤⇒≤--， 令8'()03F x x =⇒=，83min 8()()93F x F e ==，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即(32)(2)x e x a x -<-，由（2）知83(,1)(9,)a e ∈-∞+∞， 令(32)()2x e x F x x -=-，则当(,2)x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <， 等价于(32)2x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立， 因为(0)1F =最大，5(1)3F e -=，1(1)F e =-，所以当53a e <时，至少有两个整数成立， 所以5[,1)3a e∈. 当(2,)x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <， 等价于(32)2x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立， 因为838()93F e =最小，且3(3)7F e =，4(4)5F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有34(7,5]a e e ∈. 综上：345[,1)(7,5]3a e e e ∈. 数学Ⅱ（附加题）21．解：由矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为112α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦可得， 1341122a b λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即113822a b λλ-=⎧⎨-=-⎩； 得210a b ==，由矩阵A 属于特征值2λ的一个特征向量为223α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 可得23423a b λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦23⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即226122233a b λλ-=⎧⎨-=-⎩； 得239a b -=，解得1211a b =-⎧⎨=-⎩.即341211A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦， 22．解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为22(2)4x y +-=，又由12x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t0y m -+=，由直线l 与圆C 相交， 所以|2|22m -<，即26m -<<. 23．解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ， 则A ：该公司在星期四最多有一辆汽车出车2211()()()42P A =122311()()()442C +1221119()()()22464C +=. ∴55()1()64P A P A =-=. 答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564. （2）由题意，ξ的可能值为0，1，2，3，422111(0)()()2464P ξ===； 122111(1)()()()224P C ξ==1223111()()()4428C +=； 2211(2)()()24P ξ==22122311()()()422C ++123()4C 111()432=； 212131(3)()C ()()244P ξ==2122313()()428C +=； 22319(4)()()4264P ξ===.111395()2348328642E ξ=+⨯+⨯+⨯=. 答：ξ的数学期望为52. 24．解：（1）因为PE ⊥底面ABCD ，过E 作//ES BC ，则ES AB ⊥，以E 为坐标原点，EB 方向为x 轴的正半轴，ES 方向为y 轴的正半轴，EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)E ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)A -，(1,2,0)D -，P ，(2,1,0)CD =-，(1,1,PC =设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z ，则20n CD x y ⋅=-+=，0n PC x y ⋅=+-=，解得=(1,2,3)n ，又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =，所以cos ,||||1n m n m n m ⋅<>===+所以10sin ,4n m <>=. （2）设M 点的坐标为111(,,)x y z ，因为EM ⊥平面PCD ，所以//EM n ，即1112x y ==112y x =，11z =，又111(,,PM x y z =，(1,2,PD =-，(1,1,PC =，所以PM PC PD λμ=+=(,2,)λμλμ-+-，所以得1x λμ=-，11222()y x λμλμ=+==-，即9λμ=，1z =，12λ=，所以16μ=，所以M 点的坐标为15(,36。