第二章 分解因式1．分解因式教学目标：（一）知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．（二）过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．（三）情感与态度：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．教学重点：理解因式分解的概念.教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系教学方法：探索、归纳教学过程一、 问题用简便方法计算：（1）2976971397⨯+⨯-⨯= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=（3）992–1= ．注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．二 、探究提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．看谁算得准计算下列式子：（1）3x(x-1)= ；（2）m(a+b+c)= ；（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2= ；（5）a(a+1)(a-1)= ．根据上面的算式填空：（1）ma+mb+mc= ；（2）3x2-3x= ；（3）m2-16= ；（4）a3-a= ；（5）y2-6y+9= ．三、梳理比较以下两种运算的联系与区别：（1）a(a+1)(a-1)= a3-a（2）a3-a= a(a+1)(a-1)在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1（3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．四、应用.例1 下列各式从左到右的变形哪些是分解因式？哪些是整式乘法?(1) 2x -42y =(x+2y)(x-2y)(2) 2x(x-3y)=22x -6xy(3)2)15(-a =252a -10a+1(4) 2x +4x+4=2)2(+x(5) (a-3)(a+3)=2a -9(6)2m - 4=(m+2)(m-2)(7)2πR+ 2πr= 2π(R+r)解：(1)(4)(6)(7)是分解因式, (2)(3)(5)是整式的乘法.例2 已知p x x ++22可以分解为()()53+-x x ，求p 的值.思路导航：利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系，可知，分解前后的两个代数式是相等的，所以可以利用整式乘法解决此题.解：∵p x x ++22=1522-+x x∴p =-15五、评价：随堂练习1、2题六、课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？七、巩固练习：课本第45页习题2.1第1，2，3题思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）教学反思2．提公因式法（一）教学目标：(一)知识与技能：（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提取公因式法进行因式分解．（二）能力目标：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．（三）情感与态度：进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．教学重点：1.能准确找出多项式中含有的公因式（公因式是单项式）；2.能灵活运用提公因式法分解因式教学难点：灵活运用提公因式法分解因式。

教学方法：探索、归纳教学过程一、问题、 计算：2976971397⨯+⨯-⨯ 提问：用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数92，在提出公因数92后，很快得出这一题的计算结果是7． 二、探究 想一想：多项式 ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式 x 2+4x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．多项式2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？三、梳理结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac （2）x 2+4x （3）mb 2+nb –b如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．四、应用例1、将下列多项式进行分解因式：（1）3x +6 （2）7x 2–21x （3）8a 3b 2–12ab 3c +ab （4）–24x 3–12x 2+28x 归纳：提取公因式的步骤：（1）找公因式； （2）提公因式．易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab 后，漏掉了“+1”；（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．例2 将下列各式分解因式：（1）y x y x y x 3234268-+-（2）222132ab a b -（3）233344122x y x y x y z --+（4）2111426n n n n n n x y x y x y +-+-+-思路导航：提取公因式，首先应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，字母的指数取各项中的最低次，当首项系数为负时，通常先把负号提到括号外；如果多项式中有系数为分数，通常先把分数提到括号外，使得括号内的各项系数是整数，再进行分解因式．解：（1）原式32(431)x y x y =--+（2）原式=1(43)6ab b a -（3）原式=2321(124)2x y x x yz -+- （4）原式=122(23)n n x y x xy -+-五、评价1、找出下列各多项式的公因式：（1）4x +8y （2）am+an （3）48mn –24m 2n 3 （4）a 2b –2ab 2+ab2、将下列多项式进行分解因式：（1）8x –72 （2）a 2b –5ab （3）4m 3–8m 2（4）a 2b –2ab 2+ab （5）–48mn –24m 2n 3 （6）–2x 2y +4xy 2–2xy六、课堂小结：从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？任何找多项式的公因式?七、课后练习：课本第49页习题2．2第1，2，3题．教学反思2．提公因式法（二）教学目标：（一）知识与技能：（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．（2）会用提取公因式法进行因式分解．（二）能力目标：（1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．（三）情感与态度：通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．教学重点：1.能准确找出多项式中含有的公因式（公因式是多项式）；2.能灵活运用提公因式法分解因式教学难点：体会并运用整体的数学思想方法.教学方法：讲练结合。

教学过程一、问题把下列各式因式分解：（1）am+an（2）a2b–5ab（3）m2n+mn2–mn（4）–2x2y+4xy2–2xy回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤二、探究想一想：因式分解：a（x–3）+2b（x–3）由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，容易找到公因式是（x–3），并能顺利地进行因式分解．做一做在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a = （a –2）（2）y –x = （x –y ）（3）b+a = （a+b ）（4）（b –a ）2= （a –b ）2（5）–m –n = （m+n ）（6）–s 2+t 2= （s 2–t 2）三、梳理注意点：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．四、应用例1、将下列各式因式分解：（1）a （x –y ）+b （y –x ） （2）3（m –n ）3–6（n –m ）2进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．例2 分解因式：（1）323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--（2） 221()()n n x a b y b a +-+-（3）222222()()ax by ay bx c y c x ++-++思路导航：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意符号的变化规律: 22()()n n x y y x -=-， 2121()()n n x y y x ++-=--解：（1）原式3236()18()24()x y x y x y =--+-+- []26()()34()x y x y x y =------26()(333)x y x y =---+-28()(1).x y x y =--+ （2）原式=221()()n n x b a y b a +-+- = 2()()n b a x ay by --+（3）原式=22222222222222a x b y abxy a y b x abxy c x c y ++++-++=222222222222a x b y a y b x c x c y +++++ =22222222()()x a b c y a b c +++++=22222()()x y a b c +++例3 已知一个四边形ABCD 的四条边顺次为a 、b 、c 、d ，且（a 2+ab ）-（ac+bc ）=0，（b 2+bc ）-（bd+cd ）=0，那么四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形思路导航：利用提公因式法,把两个等式的左边转化为乘积形式.解：∵（a 2+ab ）-（ac+bc ）=0得a(a+b)-c(a+b)=0(a+b)(a-c)=0∵a 、b 、c 是四边形的边长，∴a+b ≠0,∴a-c=0,即a=c;∵（b 2+bc ）-（bd+cd ）=0得b(b+c)-d(b+c)=0(b+c)(b-d)=0∵b 、c 、d 是四边形的边长，∴b+c ≠0,∴b-d=0,即b=d∴两组对边分别相等，故四边形是平行四边形，选A.五、评价1、填一填：（2）1–x= （x–1）（3）（m–n）2= （n–m）2（4）–m2+2n2= （m2–2n2）2、把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x–y）–（x–y）（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）23、把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)·(b－a－c)分解因式．解析：如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式(a－b＋c)．六、课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？提取的公因式是多项式应该采取的方法七、课后练习：课本第52页习题2．3第1，2题．思考题：第3题（给学有余力的同学做）．教学反思3．运用公式法（一）教学目标：（一）知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．（二）数学能力：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力．（三）情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．教学重点：1.能够运用平方差公式来分解因式.2.体会逆向思维和提高推理能力.教学难点：提公因式法与平方差公式分解因式综合应用。