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（3）统计中的图形。 ①各种统计图表。
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（4）空间与图形中的数。 ①图形的周长、面积
和体积公式。
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②图形中边之间的关系。
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③图形变换中的数。 坐标与变换
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2、数形结合思想的教学。
（一）创设情境，提出问题
有2个书架,
买回200本书。
200本
方法一： 先算：平均每个书架放多少本？ 200÷2=100（本） 再算：平均每层放多少本？ 100÷5=20（本）
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且 a>b>c(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁 小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。根据 已知条件可知，ab>ac>bc，所以把最大的两个侧 面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：Ｓ＝ 4(ab+bc+ac)－2ab。
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五、推理思想
三段论
如：一切奇数都不能被2整除，(2³＋１) 是奇数，(2³＋１)不能被2整除。
5米跳绳的根数 1
2
3
4
2米跳绳的根数 7
5
2
0
剩余米数
1
0
1
0
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案例3：一瓶矿泉水满瓶水为500毫升，小 林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分， 高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过 来，无水的部分高度是4厘米。小林喝了多 少水？
设小林喝的水为v毫升，列式为： v：500＝4：(16+4) v＝100。
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（4）化未知问题为已知问题。
案例1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这 两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？
变式： 1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这
两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ 2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 1 多30千克，这
4
数学思想和方法是数学知识在 更高层次上的抽象和概括，它蕴 涵在数学知识发生、发展和应用 的过程中。
高考考试大纲的说明
5
不懂得数学思想方法的数学教 师不是一个称职的教师。
——徐利治
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数学思想和数学方法既有区别又有密切 联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些， 而数学方法的实践性更强一些。人们实现数 学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选 择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。 因此，二者是有密切联系的。我们把二者合 称为数学思想方法。数学思想方法是数学的 灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就 要深入到数学的“灵魂深处”。
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解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。
案例1：某旅行团队翻越一座山。上午9时 上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1 小时。下山时，每小时行4千米，下午4时 到达山底。全程共行了20千米。上山和下 山的路程各是多少千米？
假设都是上山，那么总路程是18（6×3）千米， 比实际路程少算了2千米，所以，上山时间是4小 时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。
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三、模型思想 1、模型思想的具体应用。 2、模型思想的教学。
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2
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第一，学习的过程可以经历类似于数学家建 模的再创造过程。
《长方体的认识》 ①量一量； ②比一比； ③找一找； ④折一折。
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二年级下册《余数与除数的关系》
小棒根数 8 9
10 11 12 13 ……
摆几个□ □□ □□ □□ □□ □□□ □□□
演绎推理
选言推理
一个三角形不是锐角三角形和 直角三角形，它是钝角三角形。
推理
对称性关系推理 1米＝100厘米，所以100厘米＝1米 关系推理
反对称性关系推理 a大于b，所以b不大于a。
归纳推理 合情推理
传递性关系推理
a>b，b>c，所以a>c。
类比推理
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1、推理思想的具体应用。
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锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直 角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐 角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经 知道了29＞26，26＞23，所以29＞23的推 理方法，自然地可以把这种推理方法迁移 至此。
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二年级上册第80 页例4中的9的乘 法口诀，这是归 纳推理。
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有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4 个地数多1个，5个5个地数多1个。问这 箱苹果至少有多少个？
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一、符号化思想 九、统计思想
二、化归思想
十、分析法和综合法
三、模型思想
十一、概率思想
四、数形结合思想 十二、反证法
五、推理思想
十三、集合思想
六、方程和函数思想 十四、极限思想
七、几何变换思想 十五、假设法
八、分类讨论思想 十六、运筹思想 8
一、符号化思想 1、符号化思想的应用。 第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规 律，并用符号表示。如：a+b=b+a 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。 第三，会进行符号间的转换。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表 示的问题。
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2、“转化”是一种常见的解决问题的方法。 如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼 成一个近似的长方形，这两个图形（ ）。 A、面积相等，周长也相等 B、面积相等，周长不相等 C、面积不相等，周长也不相等
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3、在小数除法中，如：6.5 292 .5 要把这两个小数变成整数 65 2925 才能进行计算，把小数变成整数这 一过程运用了（ ）的思想方法。
两种水果一共销售了180千克。销售苹果多2 少千克？ 3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是
香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多 少千克？
4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是 苹果的2倍。这三种水果一共销售了210千克。销售香蕉多 少千克？
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期末测试体现转化数学思想的题目： 1、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过 程中，这一过程体现了（ ）数学思想。这 一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠 定基础。
1、化归思想的具体应用。
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二、化归思想
2、教学中的化归策略。
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（1）下图是平行四边形停车位，它的 面积是（ )。
Ａ．7.5×4 Ｂ．7.5×6 Ｃ．6×4
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王老师在教学时，用木条制成一个 长方形框教具，木条长18厘米，宽 15厘米。它的周长和面积各是多少？ 如果把它拉成平行四边形，周长和 面积会怎样？
上海国际饭店
浦东中银大厦
设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向 思考的数量关系。
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利用画图来直观 呈现各种信息， 有利于学生分析 数量关系。
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利用画图来直 观呈现各种信 息，有利于学 生理解算式。
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②解决问题的直观策略。
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③利用坐标系中的图像 直观理解正比例关系。
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一、符号化思想 1、符号化思想的应用。 用符号表示变化规律。 数列的变化规律:1,2,3,5,8,… 图形的变化规律。
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2、符号化思想的教学。 “垂直与平行”
①
②③
④
⑤
⑥
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a∥b或者b∥a
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①
②③
④
⑤
⑥
a⊥b或者b⊥a
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二、化归思想
化归（转化）思想从小学到中学，数学知识呈 现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在 学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过 把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转 化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数 学问题。化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之 一。
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案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行 10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带文具 盒，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校， 他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西 的时间忽略不计）
案例2 ：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长 两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳 子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）
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方法一：180÷2÷3＝30（人） 方法二：180÷（3×2）＝30（人）
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四、数形结合思想 2、数形结合思想的教学。 第一，如何正确理解数形结合思想。
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案例1：1 ＋ 1 ＋ 1＋ 1 ＋…＝ 1
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第二，适当拓展数形结合思想的应用。
案例2：把两个形状和大小 相同的长方体月饼盒包装成 一包，怎样包装最省包装纸？
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解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。
案例2：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了 11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克 香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?
直接分析：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可 得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克 苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香 蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价 是每千克2.5元。
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1
高
底
2
高
底 上底
3
高
下底
上底
平行四边形的面积 ＝底 ×高
三角形的面积 ＝底 ×高÷２
梯形的面积 ＝（上底 ＋下底）×高÷２
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图1
图2
21解决问题中的化归策Fra bibliotek。 （1）化抽象问题为直观问题。
案例1：1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ……＝ 1
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解决问题中的化归策略。
（2）化繁为简的策略。
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四、数形结合思想