第7讲抛物线【2020年高考会这样考】1考查抛物线定义、标准方程.2. 考查抛物线的焦点弦问题.3•与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等.【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用.* j KACUIZIZHUD A0KUED1 •考基自主导学基础梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线1（1不过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线.其数学表达式：|MF = d（其中d为点M到准线的距离）.^=肋学腿毎----一个结论2 P P焦半径：抛物线y= 2px（p> 0）上一点P（x o, y o）到焦点F -, 0的距离| PF = x o+号.两种方法（1）.......................................................................... 定义法.：.…根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定…P.的值，，得到抛物.线的标進方程. （2）..................................................................................... 待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数............................................. P.的值.，这里要注意抛物线标准方程..…有四种形式.•一.丛简单化角度出发，…焦点在x .轴旳'…设为…y.2亍ax（. a于0）.，焦点在. y 轴.的,设为.2x = by（b 工0）.双基自测1.（人教A版教材习题改编）抛物线y2= 8x的焦点到准线的距离是（）.A. 1 B . 2 C . 4 D . 8解析由2p= 8得p= 4，即焦点到准线的距离为 4.答案C2.(2020•金华模拟）已知抛物线的焦点坐标是（0，—3），则抛物线的标准方程是()A.2x =—12y B. x2= 12yC.2y =—12x D. y2= 12x解析2= 3,.・.p= 6,「. x2=- 12y.答案A3. （2020 •陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程x =- 2，则抛物线的方程是（）.2 2 2 2A. y =—8x B . y =—4x C . y = 8x D . y = 4x解析由准线方程x=—2,顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F（2,0）;②该2抛物线的焦准距p= 4.故所求抛物线方程为y = 8x.答案C4 . （2020 •西安月考）设抛物线y2= 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是（）.A. 4 B . 6 C . 8 D . 12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x = —2，又由点P到y轴的距离为4,可得点P的横坐标X P= 4,由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF = X P+号=X P+ 2 = 4 + 2= 6.答案B5. （2020 •长春模拟）抛物线y1 2 3 4= 8x的焦点坐标是____ .解析•••抛物线方程为y. 8x,「. 2p= 8,即p= 4. 焦点坐标为（2,0）.答案（2,0）mi KAOXIANQTAIMJIUDAOXI.............. ................. *・*n*”・**m*+***-—*+m*n“**i ・**”-■.”******.—・*»****02 ®考向探究导析晴析丢同：乘祈娶醸设抛物线的准线为I，作AA丄l于A, BB丄l于B，由抛物线的定义知| AA| + | BB| = | AF1 1 5+ | BF = 3,贝U AB的中点到y轴的距离为2(| AA| + | BB|) — 4 = 4.答案 C miiz涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解.【训练1】（2020 •济南模拟）已知点P是抛物线y2= 2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）.解析由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点离之和，显然，当P、F、（0,2）三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于考向二抛物线的标准方程及性质考向一抛物线的定义及其应用【例1】?（2020 •辽宁）已知F是抛物线y2= x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，| AF +|BF = 3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）.3 5代4 B . 1° 4 D.［审题视点］由抛物线定义将|AF + I BF转化为线段AB的中点到准线的距离即可.解析A.17亍 C. ：5 D.P到点（0,2）的距离与点P到焦点的距,172答案 A【例2】？(1)(2020 •南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P( —2,—4)的抛物线方程为__________ •⑵(2020 •浙江)设抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 __________ .［审题视点］(1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.⑵抓住FA的中点B在抛物线上，求出p.解析(1)由于点P在第三象限.①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为 2 y =—2px(p>0),2把点R —2,—4)代入得：(一4) =—2p x ( —2),解得p= 4,.••抛物线方程为2y = —8x.设方程为x2= —2py(p> 0)，把点R —2, —4)代入得：(一2)2②当焦点在y轴负半轴上时，=—2p x ( —4).1 2解得p= 2* •••抛物线方程为x = —y.综上可知抛物线方程为y2=—8x或x2=—y.(2)抛物线的焦点F的坐标为2, 0，则线段FA的中点B的坐标为p 1 ,代入抛物线方程得1 = 2p x 4,解得p^2,故点B的坐标为誓,1 ,故点B到该抛物线准线的距离为申+ 迈=座2 4 *2 23迈答案(1) y =—8x 或x =—y (2) 4丐匚吒• 1 “求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【训练2】已知F为抛物线x2= 2py( p> 0)的焦点，M为其上一点，且| MF = 2p,则直线MF 的斜率为()•A. — B .土申C >/3 D .±^3p p解析依题意，得F 0, 2，准线为y = —$，过点M作MN垂直于准线于N,过F作FQ垂直于MN于Q则| MN =|MF = 2p, |MQ = p,故/ MF= 30即直线MF的倾斜角为150。

或30°,斜率为—p3或答案B考向三抛物线的综合应用【例3】？(2020 •江西)已知过抛物线y5 6= 2px(p>0)的焦点，斜率为2 ,：2的直线交抛物线于A(x i, y i) , B(x2, y2)( x i v X2)两点，且| AE| = 9.(1)求该抛物线的方程；⑵O为坐标原点，c为抛物线上一点，若3C=6A F入6B求入的值.[审题视点](1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解.解⑴直线AB的方程是y = 2述x—p，与y2= 2px联立，从而有4x2—5px+ p2= 0,所以丄5px i + X2=—,由抛物线定义得：I AB = x i + X2+ p= 9,所以p= 4,从而抛物线方程是y2= 8x.2 2 2(2)由p= 4,4 x —5px+ p = 0 可简化为x —5x+ 4= 0,从而x i = i, X2 = 4, y i=— 2 '2, y2 = 4 '2,从而A(i , — 2 .-2) , B(4,4 -2);设OC= (X3, y3) = (i , — 2 ⑵+ 入(4,4 ；2) = (4 入+ i,4 ：2 入—2 ：2),丄】'二本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想.其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.【训练3】设抛物线C：y2= 4x, F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A B两点.(I)设L的斜率为I,求| AB的大小；⑵求证：6A- 3B是—个定值.(I)解••• F(i,0) ,•••直线L 的方程为y= x —I,y= x—i,设A（Xi, yi）,日X2, y2），由y2= 4X•X i + X2= 6, X i X2= i.•I AB = ' X2—x i 2+ y2 —y i又y3 = 8X3, 即[2 ..''2(2 入一i)] 2= 8(4 入+ i), 即(2入一i) = 4入+ i ,解得入=0,或入=2.2得x —6x+ i = 0,=：2 •-x i+ X2 2—4X I X2=；'2 •.'36—4 = 8.⑵证明设直线L的方程为x= ky + 1,x = ky+ 1, 2由2得y —4ky —4= 0.y = 4x/• y i+ y2= 4k, y i y2 =—4,0A= (X i, y i) , 0E=(X2, y2).•/O A-=(ky i+ 1)( ky2 + 1) + yy2=k y1y2+ k( y1 + y2)+1 + 屮y2 2=—4k + 4k + 1 —4=—3.••• OA- 3E是一个定值.03 ®考题专项突破辛壁展示［名师無谨阅卷报告14――忽视“判别式”致误【问题诊断】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误•【防范措施】解题后任何情况下都来检验判别式A.【示例】?(2020 •福建)已知抛物线C: y = 2px(p>0)过点A(1 , —2).(1) 求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2) 是否存在平行于OAO为坐标原点)的直线I，使得直线I与抛物线C有公共点，且直线OA与I的距离等于二5?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.5实录(1)将点A(1 , —2)代入y2= 2px，得p= 2,故所求抛物线C的方程为y2= 4x, 其准线方程为x =— 1.错因遗漏判别式的应用.(2)假设存在直线I，设I : y=—2x +1,5由直线OA与I的距离d=匸，故符合题意的直线I存在，其方程为2x+ y — 1 = 0或2x+ y +1 = 0.得孚=+，解得t = ± 1.5 .5__ 2 2正解 ⑴将(1 , - 2)代入 y = 2px ，得(—2) = 2p • 1, 所以p = 2.故所求的抛物线 C 的方程为y 2= 4x ，其准线方程为x =— 1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y = — 2x +1,y =— 2x +1,2由 2得 y + 2y — 2t = 0.y = 4x ,因为直线l 与抛物线C 有公共点，1所以 A = 4+ 8t >0,解得 t >— 2 另一方面，由直线 OA 与 I 的距离d = J, 所以符合题意的直线I 存在，其方程为2x + y — 1 = 0. 2 2x y【试一试】(2020 •杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ： r + 2= 1( a > b >0)的左、右 a b 焦点分别为F 1、F 2, F 2也是抛物线C 2： y 2= 4x 的焦点，点M 为C 与C 2在第一象限的交点，且51 MFI = 3.(1)求C 的方程;⑵ 平面上的点 N 满足M N= MF + MF ,直线I // MN 且与C 交于A 、B 两点，若O A- 0B= 0,求 直线l 的方程.［尝试解答］ ⑴ 由C 2: y 2= 4x ，知F 2（1,0）, 设 MX 1, y 1） , M 在 C 2上,55因为 | MF | = 3,所以 X i + 1 = 3, 得 X 1 = |, y 1 =所以M |,.3' IM 在G 上，且椭圆 G 的半焦距c = 1,482 + ' 2= 1 ,于是9a Ibb 2= a 2— 1,可得|t | -5「I 解得 t = ± 1.因为一1? — 2，+^ , 1 €1— +m2，消去b7 8并整理得9a9—37a2+ 4= 0.1解得a= 2 a= 3不合题意，舍去故b2= 4—1 = 3.2 2故椭圆C i的方程为X4 + y3 = 1.⑵由爺+ MF= I^N知四边形MFNF是平行四边形，其中心为坐标原点0,因为l // MN所以I与OM勺斜率相同.3 L的斜率k =―厂=:63的方程为y = &(x —m).2 2x-+ y-= 1 由4十10，y= ;'6 x —m2 2消去y并整理得9x —16mx+ 8m— 4 = 0.设A(x1, y" , B(x2, y2).2nrt16m 8m—4则X1 + X2 = , X1X2= 9—因为OAL O B 所以X1X2+ y1y2 = 0.所以X1X2 + y1y2= X1X2+ 6(X1 —n)( X2 —m)=7x1x2—6m X1+X2)+ 6m8m —4 16m 2=7 •9——6m•+ 6m7 2=9(14m —28) = 0.所以m=±, 2.此时 A = (16m) —4X9(8 m—4)故所求直线l的方程为y = 6x — 2 3 ,或y=. 6x+ 2 3.=—32m + 144= —32X 2+ 144 > 0.。