导数公式:= scc 2 x/ 2 (cfgx)'= -cscr(secx)r= secx ・tgx (esc x\ = - esc x •etgx (a x \ = a x \na(arccosx)'=——/yjl-x2— 2I n = Jsin" xdx = jcos Mxdx 0(log. x\ =1x\na(arcctgx)f=1 l + x 2基本积分表：ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + CJese xdx = ln|csc x - etgx +C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dxcos 2 xdxsin 2x|sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + Cdx ~2 2a +x dx 2 7 x -erdx a 2-x 2dx\la 2 -x 2x-a2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C2a a-x= = arcsin —+ Cajsec x • tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + Cia xdx = ———CJInezjshxdx = chx + C ^chxdx = shx + CJ 岛 T 777"^x 2+a 2dx = — y/x 2+ a 2+ — ln(x + y/x 2+a 2) + C 2_________ ____________________ 2JVx 2-a 2d x =~ J 兀2_ — In 兀 + — cz 厶+ CJJ/x = *罷 三角函数的有理式积分：2 一 + — arcsin — + C2a sinx =2u l +u 2cosx = 1 -M 21 + w 2U=tg2dx =2dul + w 2(arctgx)f = 1l + x 2/r 2(arcsin x)fsin(cr ± /?) = sin a cos /? ± cos <7sin 0cos(a ± 0) = cos a cos 0 年sin a sintga土tg0•和差化积公式：sirm + sin 0 = 2 sin cos ~~~~ sin 6Z-sin 0 = 2 cos °十X _ -X双曲正弦:shx=' r2双曲余弦:chx = C A2c/7r e x双曲正切:thx = - = ^-^ chx e +e arshx = ln(x + Vx2 +1) archx = ± ln(x + y]x2 -1)sinxlim ----- =1lim(l + -)' = ^ = 2.718281828459045... —8 %arthx = —In2三角函数公式:•诱导公式：数角彳、sin cos tg Ctg-a-sina cosa-tga-ctga90°-a cosa sina ctga tga90°+a cosa-sina-ctga-tga180°-a sina-cosa-tga-ctga180°+a-sina・ cosa tga ctga270°-a-cosa-sina ctga tga270°+a-cosa sina-ctga-tga360°-a-sina cosa-tga-ctga360°+a sina cosa tga ctga •和差角公式:tg(a±/3) =/ , °、ctga・ctg0 +\crg(d±0)= & ""sin ―—2 2r 6Z + 0 oc — (3 cos a + cos 0 = 2 ncos —-^― cos —-^― cos a - cos 0= 2 sin " + " sin —―—2 2•倍角公式:•半角公式:(济)(“)=£算严幼严Jl=0冲叫+和+汕知” +…+⑷-1)・・°"+叽心)严+・・・ + "/)2! k\中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理:f(b)-f(a) = f^)(b-a) 柯西中值定理严)- W 以OF(b)-F(a) F©当F(Q 二x 时，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。
曲率：sin 2a = 2 sin a cos acos2cr = 2cos 2 a-\-1 -2sin 2 a - cos 2 «-sin 2a c c tg2a 一 1 ctg2a = ---------2ctgasin 3cr = 3 sin a -4sin 3a cos3cr = 4COS '&-3COSQtg3a =3tga tg'a \-3tg 2a• asin —=2a , /l-cos<7 1-COS6Z sin a tg — = ±A ------- = --------- = -------- 2 V 1 + coscr sin a 1 + COSQa , |l + cosQcos — = ±J ---------2 V 2a , Jl + cosa 1 + COSQ sin a ctg — = 土 J ----------------- = ----------- = ----------- 2 v 1-COS6Z sincr 1 -coscr・正弦定理：-^— = -^— = ^— = 2R sinA sinB sinC•余弦定理：c 2 = a 2 +b 2-2abcosC•反三角函数性质：arcsinx = ----- arccosx271arctgx = --- arcctgx高阶导莱布尼兹(Leibniz)公式:弧微分公式：ds = {1 +）严曲其i|y = /ga .△&:从M 点到NT 点，切线斜率的倾角变化量；As ： MM 弧反。
直线:K = O;半径为a 的圆：K=-. a 定积分的近似计算：b t矩形法:丄上（儿+）>+•••+儿-）i n b>j梯形法：j/（x ）« —^-［-（y 0 + 儿）+ x + …+ 儿_】］abfh — Z7抛物线法:］7（x ） u 玄-［（儿+儿）+ 2（儿+儿+…+儿—2） + 4（X +儿+…+儿-1）］a定积分应用相关公式: 功：W = F-s 水压力：F = p-A 引力：F = k^,k 为引力系数r空间解析几何和向量代数:平均曲率灭=M 点的曲率：K = \im山TO A Sdads Vo+/2）3函数的平均值»二均方根:ba空间2点的距离：〃 =|冏叽| = J (£ 一州)2 + (儿一 X )2 + G - Z |)2 向量在轴上的投影:Pr 血乔=|乔卜cos 00是乔与”轴的夹角。
Pr j u (5i +52)= Pr皿 + Pr ja 2a-b = \a\ - h cos0 = a x b x +a y h y +a.h ：9是一个数量，a_ ,|c|= a -|&|sin^.例：线速度:v = vvxr.bx 伏,向量的混合积：[ahc] = (dxb)-c = h x-dy 冬 _b y b z = axh •c COSQ ,Q 为锐角时,代表平行六面体的体积。
平面的方程：1、点法式：A(x-x o ) + B(y-y o ) + C(z-z o ) = O,其中n = {A,B,C},M Q (x Q ,y Q ,z Q )厶一般方程：Ax +By+ Cz + Q = 03、截距世方程:兰+工+三=1a b c平面外任意一点到该平面的距离：〃」办。
+〃儿+5+刖V A 2 + S 2 + C 2X = X G + mt 空间直线的方程:乂也= =二英中2仙‘,“}；参数方程:尸儿+mmn p二次曲面：2 2 21、 椭球而:与+件+* = 1a b “ c2 22、 抛物ffi:—4-—= Z,(p ，9同号)2p 2q3、 双曲面：2 2 2 单叶双曲面:亠+―-二=1 cr b 「 c2 2 2双叶双曲面:二-—+二=1(马鞍面)cr b 「 c_多元函数微分法及应用两向量之间的夹角:COS& =•航 +b ：+b ：c = axb = a x a y全微分：dz = —dx + — dy du = —dx +—dy +—dz dx dy dx dy ' dz 全微分的近似计算："=dz = f x (x, y)Ax + f y (x, y)Ay 多元复合函数的求导法：dz dz du dz dv dt du dt dv dt当u =u(x,y\ v = v(x, y)时,隐函数的求导公式:迦—__L °(F ，G) dx J6(x, v) 里—丄 Q(F,G) Sy J 5(y,v)微分法在几何上的应用：兀=0⑴空间曲线y = 0⑴在点Mgjg)处的切线方程:导=宁汁壬 小 (P (A )) 0仏)血亿))Z = co(t) 在点M 处的法平面方程:0仏)(兀-兀0 ) + 0‘仏)(y 一儿)+少(厲)(z - Zo ) = 0若空间曲线方程为则切向量〒={Fy耳巴F v[G(“Z ) = O5 SGM GJ 负 G y曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x 0, y Q , z 0),贝山1、 过此点的法向量：h = {F x (x 0,y (),^()),F y (x 0,y (),^()),F z (x 0,y 0,z ())}2、 过此点的切平面方程：的(兀0，儿，5)(兀-兀0)+耳(兀0』0,5)0-儿)+ 3(兀0』0忆0)(2-5)= 0方向导数与梯度:z = /［心必咻刃］dz _ dz du + dz dv dx du dx dv dx』 du . du . au =——dx-\ -- dydx dydv = ^dx^dy dx dy 隐函数F(x, y) = 0,乞)+2( -F 、\ oy■2 F y dx隐函数 F(x,y,z) = O,翌=_匕dx F_<•隐函数方程组：严』以)=0G(x,y,u,v) = 0dFdFj 0(F,G)duF FU y 5(w,v) 8GdGG u Gvdu6v过此点的法线方程:一』一EOW O M O ) y -儿 Fy (兀 o 』▲ OWoMo)& =_£vF aG)X)G1 刃, r\ F M 5(5 一一 =av一函数z = 在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数^J ：—= —cos^? +—sin^dl dx dy其中。