Yi 1 X i i
称之为过原点回归（regrission through the origin）。试证明 （1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组
e 0 e X 0
i i i
~ ˆ 则可以得到 1 的两个不同的估计值： 1 Y X ， 1 ~
（4）OLS 方法要求残差平方和最小 Min
X Y X
t 2 t
t

X
~
~
ˆ X )2 RSS et2 (Yt 1 t
ˆ 求偏导得 关于 1
RSS ˆ X )( X ) 0 2 (Yt 1 t t ˆ
1
即
X
t
ˆ X )0 (Yt 1 t
ˆ X Y ii 1
ˆ 是 OLS 估计量。 可见 1
四、综合分析题
X
2 i
1、对于人均存款与人均收入之间的关系式 S t Yt t 使用美国 36 年的年度数据得
如下估计模型，括号内为标准差：
湖南大学计量经济学期末考试试题
一、判断题 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS）估计量是有偏的和无效的； 如果存在异方差，通常使用的 t 检验和 F 检验是无效的； 如果从 OLS 回归中估计的残差呈现系统模式，则意味着数据中存在着异方差； 当存在序列相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是无效的； 两个模型，一个是一阶差分形式，一个是水平形式，这两个模型的 R2 值是不可以直接 比较的。 【解答】1、错； 2、错； 3、错。当存在异方差情况下，OLS 法估计量是无偏的但不具有有效性。 4、对。如果存在异方差，通常使用的 t 检验和 F 检验是无效的。 5、对。通过将残差对其相应的观察值描图，了解变量与残差之间是否存在可以观察到的系 统模式，就可以判断数据中是否存在异方差。 6、错。当存在序列相关时，OLS 法估计量是无偏的但不具有有效性。 7、对。 二、简答题 1、单位根检验为什么从 DF 检验扩展到 ADF 检验？ 【解答】在采用 DF 检验对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有 白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能 是由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用 OLS 法进行估计 均会表现出随机误差项出现自相关，导致 DF 检验无效。另外，如果时间序列包含有明显 的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致 DF 检验中的自相关随机误差 项问题。为了保证 DF 检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky 和 Fuller 对 DF 检验进行了 扩充，形成了 ADF 检验。 2、多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性 的过程中，哪些基本假设起了作用？ 【解答】多元线性回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变 量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项 ui 服从均值为 0
X Y ) /( X
t t
2 t
) ，求期望
ˆ ) E( X Y / X 2 ) E ( tt t 1
( (
1 1 ) E ( X t Yt ) ( ) E[ X t ( 1 X t t )] 2 2 X X t t 1 1 ) 1 ( X t2 ) ( ) X t E ( t ) 1 2 Xt X t2
X Y X 。
i i 2 i
ˆ 均为无偏估计量。 （2）在基本假设 E ( i ) 0 下， 1 与 1 ~ ~ ˆ X 通常不会经过均值点 ( X , Y ) ，但拟合线 Y ˆ （3）拟合线 Y 1 X 则相反。 1 ˆ 是 的 OLS 估计量。 （4）只有 1 1
（2）对于 1 Y / X ，求期望
~
1 1 ~ E ( 1 ) E (Y X ) E[ ( 1 X t t )] X n X 1 [ E{ 1 t ) E ( t )] X n X 1 1 X
这里用到了 X t 的非随机性。
ˆ ( 对于 1
【解答】（1）由第一个正规方程
e
t
t
0得
(Y
或 求解得 由第 2 个下规方程
~ 1 X t ) 0 ~ 1 X t
Y
~
t
1 Y / X
X
t
ˆ X ) 0得 (Yt 1 t
X Y
t
t
2 ˆ 1 Xt
求解得
ˆ ( X Y ) /( X 2 ) tt t 1
ˆX ˆ X 必须等于 Y 。但 ˆ X 通过点 ( X , Y ) ， ˆ （3）要想拟合值 Y 1 1 1
ˆ X 上。 ˆ ，通常不等于 Y 。这就意味着点 ( X , Y ) 不太可能位于直线 Y 1 ˆ X 经过点 ( X , Y ) 。 相反地，由于 1 X Y ，所以直线 Y 1
方差为 2 的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误 差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
3、联立方程模型中的变量可以分为几类？其含义各是什么？ 【解答】对于联立方程模型系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量 与滞后内生变量又被统称为先决变量。内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它是由 模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响，内生变量一般都是经济变量。外生变量一 般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量。外生变量影响系统，但本身不受 系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 三、证明题 对没有截距项的一元回归模型