平均数、中位数、众数的区别与联系易错点剖析统计中的常见错解示例一、概念理解不透造成错解例1.下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表, 分数 70 80 90 10013x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分,则测验成绩的众数是( ) A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分错解:根据该小组本次数学测验的平均分是85分,得70×1+80×3+90×x+100×1=85×(1+3+x+1),解得x=3.由于80分出现了3次,90分也出现了3次,所以这组数据的众数是21(80+90)=85(分).故本题答案选B.错解分析:众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中,若干个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见,一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分,故应选D.造成这一错解的原因是:对众数的概念理解不透,并误用求平均数的方法来求众数.正解:根据题意,如同前面所解,得x=3,所以在这组数据中80分出现了3次,90分出现了3次,所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D.例2.一组数据的方差为s 2,将这组数据中每个数据都除以3,所得新数据的方差是( )A. 31s 2 B. 2s 2 C. 91s 2 D. 4s 2 错解:选A.错解分析:错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解,误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上,样本中各数据与样本平均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得,新数据的方差应是91s2.正解:设原数据为x1,x2,…,x n,其平均数为x,方差为s2.根据题意,则新数据为13x1, 13x2,…, 13x n,其平均数为13x.根据方差的定义可知,新数据的方差为:S2=1m [(13x1-13x)2+(13x2-13x)2+…+(13x n-13x)2]= 19×1m[( x1-x)2+( x2-x)2+…+( x n-x)2]= 19s2.所以,本题答案应选C.例 3.在一次数学测试中,某班25名男生的平均成绩是86分,23名女生的平均成绩是82分.求这些学生的平均成绩(结果精确到0.01分).错解:平均成绩为x=28286+=84(分).错解分析:错解在求平均数时,混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式.当数据中有些数据是重复的,要使用加权平均数公式计算.正解:平均成绩为x-=8625822348⨯+⨯≈84.08(分).例 4.若一组数据x1,x2x3,x4,x5的平均数为2,则3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为________.错解:数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数仍为2.错解分析:设原数据x1,x2x3,x4,x5…,xn的平均数为x.直接代入平均数公式计算,可知新数据mx1+k,mx2+k,mx3+k,…,mxn+k的平均数为mx+k。
正解:数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数=4.例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数.错解:由于该组数据正中间的数是2,4,所以中位数为242+=3.错解分析: 根据中位数的定义知,在求一组数据的中位数时,应先按大小顺序排列数据.然后观察数据的个数,若数据的个数为奇数,则最中间的 就是中位数;若数据的个数为偶数,则中间两个数据的平均数即为中位数.错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断.正解:先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,9,9. 正中间有两个数, 分别是5和7, 而它们的平均数是6, 所以此组数据的中位数是6. 例6.某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数如表(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260,这个分析定额是否合理?为什么?错解:(1)计算可知:平均数为260.中位数为240.众数为240.(2)合理.因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,体现了这组数据的集中趋势.错解分析:第(1)题解答正确.第(2)题解得不对, 原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,还有11 人不能达到此定额.尽管260是平均数, 但若将其作加工零件数540450300240210120人数112632为生产定额,不利于调动多数工人的积极性. 若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240 件,比较合理, 因为240 既是中位数, 又是众数, 大多数人都能完成生产定额, 有利于调动多数工人的积极性.解略.二、未作分类讨论造成漏解例7.一组数据5,7,7,x 的中位数与平均数相等,求x 的值. 错解:由于平均数为4775x +++, 而中位数为277+ =7, 所以4775x+++=7,解得x=9. 错解分析:错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的. 事实上,x 的大小可分三种情况:①x ≤5;②5<x ≤7;③x>7.从而可知本题的中位数是不确定的,要分类讨论.正解:①当x ≤5时,中位数为6,此时4775x+++=6,解得x=5; ②当5<x ≤7时,中位数为27x +,此时4775x +++=27x+,解得x=5,不符合题意,舍去;③当x>7 时,中位数为7,此时4775x+++=7,解得x=9. 综上可知,x=5 或x=9.例8.一组数据-1,0,3,5,x 的极差是7,那么x 的值可能有( ) A. 1个 B.2个 C. 4个 D. 6个错解:根据题意,由x-(-1)=7,解得x=6,所以x 的值有1个,故答案选A.错解分析:根据极差的定义知,数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中,最小数为-1,最大数为5,它们的差是6.而题目中的极差为7,所以x 可能是这组数据的最大数,或是最小数.错解中丢失了解.本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.正解:根据极差的定义,对数据中的x 的大小必须分两种情况来讨论: ①当x 为这组数据中的最大数时,-1就为其最小数,则有x-(-1)=7,解得x=6.②当x 为这组数据中的最小数时,5就为其最大数,则有5-x=7,解得x=-2. 综上所述,x 可取两个值:-2或6.故答案应选B.三、未考虑前提条件造成错解例9.甲、乙两个样本的方差分别是s 甲2=6.06,s 乙2=14.31,由此可反映( ) A. 样本甲的波动比样本乙大 B. 样本甲的波动比样本乙小 C. 样本甲和样本乙的波动大小一样D. 样本甲和样本乙的波动大小关系不能确定错解:因为s 甲2=6.06,s 乙2=14.31即有s 甲2<s 乙2,所以甲样本的波动比乙样本小,故答案选B .正解:选D .因为题目中样本甲和样本乙的平均数都未提及,由此,无法用它们的方差来比较其波动性大小.所以,本题答案应选D .四、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解例10.有m 个数的平均数为x ,n 个数的平均数为y ,则(m+n )个数的平均数是( ) A.2y x + B. n m y x ++ C. n m ny mx ++ D. nm nxmy ++ 错解一:由题意可知,这是求平均数x 与平均数y 之和的平均数,所以它们的平均数是2yx +.故答案选A . 错解二:由题意可知,所求(m+n )个数的样本总量为(x+y ),所以,其平均数为nm yx ++.故答案选B .错解分析:以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全所造成的.错解一是误认为求x,y 的平均数,由此把样本容量当作2,把(x+y )当作了样本总量.错解二虽然确定样本容量为(m+n ),判断正确,但仍将(x+y )当作样本总量,而此时的样本总量应为(mx+ny ),所以,它们的平均数是nm nymx ++.故答案选C .解略.例11.甲、乙两工人生产直径为40mm 的同一种零件.现各抽取两人加工的5个零件,量得尺寸如下(单位:mm ): 甲:42,41,40,39,38乙:40.5,40.1,40,39.9,39.5. 问哪位工人生产的零件质量较好?错解:甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为:x 甲=51×(42+41+40+39+38)=40,x 乙=51×(40.5+40.1+40+39.9+39.5)=40.所以,两工人生产的零件质量一样好. 错解分析:错解是由于掌握知识不全面,考虑问题不周全造成的.分析数据不应该只从平均数上分析,还应该知道利用方差、极差来解决问题.极差、方差都可以反映数据的波动情况,由上述计算可知工人乙的极差、方差都比工人甲的小,所以工人乙生产的零件质量较好.正解:x 甲=51×(42+41+40+39+38)=40,甲的极差是42-38=4.s 甲2=51×[(42-40)2+(41-40)2+(40-40)2+(39-40)2+(38-40)2]=2.x 乙=51×(40.5+40.1+40+39.9+39.5)=40,乙的极差是40.5-39.5=1.s 乙2=51×[(40.5-40)2+(40.1-40)2+(40-40)2+(39.9-40)2+(39.5-40)2]=0.104.从上可知,在两位工人生产零件尺寸的平均数相同的情况下,工人乙的极差和方差都比工人甲的要小得多.所以工人乙生产的零件质量较好.。