am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
1 2
3
3 2
1 3 2 2
矩阵乘法直观表示
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
816?163222
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
1
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
AB BA
称A,B可交换
矩阵乘法的消去律不成立
例设
1
A
1
1
1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 0
0
2
AB
1 1
1 1
1
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 i 1,2, m; j 1,2, ,n,
并把此乘积记作 C AB .
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A ; 2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
七、小结（本节要点）
一、矩阵的加法； 二、数与矩阵相乘； 三、矩阵与矩阵相乘； 四、矩阵的转置； 五、方阵的行列式．
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11 a12 L
3
A
a21 L
a22 L
L L
am1
am2
L
a1n
a2n
L
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
12 3 5 24 6 10
2 1 3
9 6
0
8
2
6
18 12
0
16
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
§4.1.2
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
解
2 0 0 4 0 0
2A 20 1 0 0
2
0
0 0 5 0 0 10
2 0 02 0 0 4 0 0
AB 0 1 00 3 0 0 3 0
0 0 50 0 1 0 0 5
4 0 0 4 0 0 0 0 0
2A AB
0
20Biblioteka 030 0
5
0
0 0 10 0 0 5 0 0 5
3 1
10.
1
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
4 AI IA A;
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
A
1 1
1 1
0 0
AB
0
0
由此可以看出：
1 1
B
1
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a31
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12 a13 b1 a22 a23 b2 a32 a33 b3
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
(a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 )
3 AT AT;
4 ABT BT AT.
同理 ABCT CTBT AT.
例5 已知
A 2 1
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解法1
求 ABT .
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
0 14 3, 17 13 10
1
3
1
0 17
那末 A 称为对称矩阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
为对称矩阵.
1 0 6
说明 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应 相等.
例8 设 A 为任意给定的 m n 矩阵，证明
AAT 为对称矩阵. 证 因为 ( AAT )T ( AT )T AT AAT ,
所以 AAT 为对称矩阵.
六、方阵的行列式
1
11
2 2
2
2
AC
1 1
1 2
1
0
0 2
2
2
2
2
AB = AC 但 B C
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
2
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
AB T
14
13 .
3 10
解法2
ABT BT AT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
2 0 0 2 0 0
例6 设 A 0 1 0, B 0 3 0 ，求 (2 A - AB)T.
0 0 5 0 0 1
八、课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习二
AB BA.
四、矩阵的转置
１、转置矩阵
定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AΤ .
例 A 1 2 2, 4 5 8
1 4
AT
2
5
;
2 8
B 18 6,
BT
18
6
.
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT;
2
4
1 2 1 2 4 2
-2A 2
0 0
3 0
2 5
0
0
6
4
0 10
1 2 1 2 5 1 2 1 0
AB
0
0
3 0
2
0
5 0
2 0
0
1
0
0
6 0
2
5
2.对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
aij a ji i , j 1,2, ,n
注意
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.
思考题
设A与B为n阶方阵,问等式
A2 B2 A BA B
成立的充要条件是什么?
思考题解答
答 A BA B A2 BA AB B2, 故 A2 B2 A BA B 成立的充要条件为
12 3 5 1 8 9
1
9
0
6
5
4
3 6 8 3 2 1