M1 n
M3 M2
= − 3 4 − 6 = 14i + 9j − k − 2 3 −1 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 1) − (z − 4) = 0
即: 14x + 9y − z − 15 = 0
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面π的方程。 解： 因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面π，所以平面π的一个法矢量为 n={1,1,-2}. 又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
(4)
例如: 求点A(1, 2, 1)到平面Π: x + 2y + 2z −10 = 0 的距离
d=
1× 1 + 2 × 2 + 2 ×1 − 10 12 + 2 2 + 2 2
3 = =1 3
第三节
两平面的相关位置
(1) (2)
1、设两个平面的方程为： π1：A1x+B1y+c1z+D1=0 π2：A2x+B2y+c2z+D2=0 定理1：两个平面（1）与（2） 相交⇔A1:B1:C1≠A2:B2:C2. A1 B1 C1 D1 = = ≠ 平行 ⇔ A B2 C2 D2 2
2. 平面的点法式方程 设平面Π过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. n ⋅ M0 M = 0 而M0 M ={x − x0, y − y0, z − z0}, 得: 称方程(1) 为平面的点法式方程 点法式方程. 点法式方程
（2）式称为平面π的坐标式参数方程 坐标式参数方程。 坐标式参数方程
例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。 设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 解： 径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为 r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此，平面的矢量式参数方程 矢量式参数方程为 矢量式参数方程 (3) r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) 坐标式参数方程为 坐标式参数方程 x = x1 + u ( x2 − x1 ) + v( x3 − x1 ) y = y1 + u ( y2 − y1 ) + v( y3 − y1 ) (4) z = z + u ( z − z ) + v( z − z ) 1 2 1 3 1
O
z M0 M
n
y
x
A(x − x0) +B( y − y0) +C( z − z0) = 0
(1)
例1: 求过点(2, −3, 0)且以 n = {1, −2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 ⋅ (x − 2) − 2 ⋅ (y + 3) + 3 ⋅ (z − 0) = 0 即: x − 2y + 3z − 8 = 0
例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程. 解: 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是 aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0 解得: A = −
(8)
z M3 o x M1 M2 y
二、平面的点法式方程
1. 法向量 法向量: 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 于一平面， 该平面的法线向量． 该平面的法线向量． 法线向量
z
r n
M
M0
o
x
y
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 特征 注: 1° 对平面Π, 法向量 不唯一 ° 法向量n不唯一 不唯一; 的法向量n与 上任一向量垂直. 2° 平面Π 的法向量 与Π 上任一向量垂直 °
1Hale Waihona Puke 1 1 1 1 ∴1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒t= , 6 6t t 6t 6
∴ a = 1, b = 6, c = 1,
所求平面方程为 6 x + y + 6 z = 6.
代入体积式
第二节 点到平面的距离 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点 P0到平面的距离。 r
第三章 平面与空间直线
1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间两直线的相关位置 7、空间直线与点的相关位置 8、平面束
第一节 平面及其方程
一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程 1、方向矢量 在空间给定一个点M 与两个不共线的矢量a,b a,b， 在空间给定一个点 0与两个不共线的矢量a,b，则 通过点M 且与a,b平行的平面π就被唯一确定。矢量a, a,b平行的平面 通过点 0且与a,b平行的平面π就被唯一确定。矢量a, 称为平面π的方向矢量。 b称为平面π的方向矢量。 显然，任何一对与平面π 显然，任何一对与平面π平行的不共线矢量都可作 为平面π的方向矢量。 为平面π的方向矢量。
三、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ≠ 0, 则方程可以化为 −D A x −( ) + B( y −0) +C ( z −0) = 0 A 它表示过定点 M ( − D , 0 , 0 ) 0 A 且法向量为 n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2) 称为平面的一般方程.
例2: 求过三点M1(2, −1, 4), M2(− 1, 3, −2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程. 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={−3, 4, −6} 可取n = M1M2 × M1M3 i j k M1M3={−2, 3, −1}
D a B=− D b
z R
o P x
Q
y
C=−
D c
所求平面的方程为:
D D D − x− y− z+D =0 a b c
即:
x y z + + =1 a b c
(3)
例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程
(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
2、平面的矢量式参数方程 在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢 OM0=r0,平面π上的任意一点M的径矢为OM=r，显然 点M在平面π上的充要条件为矢量M0M与a,b,面， 因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成： z M0M=ua+vb M0 a b M 又因为 M0M=r-r0 r0 r 所以 r-r0= ua+vb x O y r=r0+ ua+vb （1） 即 方程（1）称为平面π的矢量式参数方程 矢量式参数方程。 矢量式参数方程
例2: 已知平面过点M0(−1, 2, 3), 且平行于 平面2x −3y + 4z −1= 0, 求其方程. 解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 −3, 4} 2(x +1) − 3(y −2) + 4(z − 3) = 0 即: 2x − 3y + 4z −4 = 0
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
3、平面的坐标式参数方程
r=r0+ ua+vb
（1）
若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则 r0={x0,y0,z0},r={x,y,z} 并设 a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（1）可得
x = x0 + X 1u + X 2 v (2) y = y0 + Y1u + Y2 v z = z + Z u + Z v 0 1 2
又
A(x0 − x1) + B(y0 − y1) + C(z0 − z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D −(Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D