σm =
σ 1 + σ 2 + σ 3 σ 1 + σ 3 µ b (σ 1 − σ 3 ) = + 3 2 6
µb (σ 1 − σ 3 ) 3
σ 1 + σ 3 = 2σ m −
代入库仑公式（1）得， σ 1 − σ 3 = (2C cos ϕ + 2σ m sin ϕ ) /(1 + 对于压缩 µ b = −1 ，则以压缩为基准，可得：
µ b = 1.0, σ 1 − σ 3 = 67 .5 *
3 − sin 30.7 0 = 47 .9 Kpa, σ 1 = σ c = 100Kpa 3 + sin 30 .7 0
1-2、 （1）在直剪试验中，由于试验的破坏面是人为确定得，试样中得应力和应变不均匀且 十分复杂，试样各点应力状态及应力路径不同。在剪切面附近单元的主应力大小是变化的， 方向是旋转的。 （2）在单剪试验中，仪器用一系列环形圈代替刚性盒，因而没有明显的应力应变不均 匀，试样内所加的应力被认为是纯剪。 （3）环剪试验，试样是环状的，剪切沿着圆周方向旋转，所以剪切面的总面积不变， 特别适用于量测大应变后土的残余强度和终极强度。
b′ = b′ =
σy −σx σz − σx
(1)
2 3ctgθ ′ + 1 z = (σ z − σ x ) y = (σ y − σ x )
q = 1 − b ′ + b ′2 ( σ z − σ x ) = 1 − b ′ + b ′2 z q 1-4、 z = (3) 1 − b′ + b′2 y = b′z (4) 3 p − z − y = 3σ x 1 + b′ σx = p − z (5) 3 σz =σ x + z (6) σ y = σx + y (7)
1-3、 （1）对于常规三轴压缩排水试验，由于其围压 σ c = σ 3 是不变的，其对膜嵌入的影响 很小。但对于三轴不排水试验，其有效围压随孔压变化而变化，围压对膜嵌入影响较大。 一 般来说，围压越大，膜嵌入越明显。 （2）土的平均有效粒径越大，则土越粗，一般而言，粗粒土膜嵌入明显，细粒土则相 反。 （3）土的级配越好，膜嵌入越不明显，反之则相反。 （4）橡皮膜的越厚，膜嵌入越不明显，越薄则相反。
写成以下形式：
S 3 − J1 S 2 − J 2 S − J 3 = 0 J1 = S x + S y + S z = σ x − σ m + σ y − σ m + σ z −σ m = 0 J 2 = − ( S x S y + S y S z + S x S z − τ xy 2 − τ zx2 − τ yz 2 ) J 3 = S x S y S z + 2τ xyτ yz τ zx − S xτ yz 2 − S yτ xz2 − S zτ xy2
σx + σy + σz
3
。Байду номын сангаас
Sx − S τ yx τ zx
化简，有
τ xy Sy − S τ zy
τ xz τ yz = 0 Sz −S
S3 − ( S x + S y + S z ) S 2 + ( S xS y + S yS z + S xS z − τ xy 2 − τ zx2 − τ yz 2 ) S −( S x S y S z + 2τ xyτ yz τ zx − S xτ yz 2 − S yτ xz2 − S zτ xy2 ) = 0
∆σ 1 ∆σ 1 ) (100 + ∆σ 1 ) + (100 − ) 2 = 2 sin 30 . 7 0 ，故 2
∆σ 1 = 82.3Kpa
因此， σ 1 − σ 3 =
3∆σ 1 = 123.5 Kpa, σ 3 = 58.9 Kpa 2
（3）对于 TE 试验：
σ 1 = σ 2 = σ c + ∆σ 1 , σ 3 = σ c − 2∆σ 1 ,σ c= 100 Kpa, 代入库仑公式（1）得：
µb sin ϕ ) 3
σ1 − σ 3 1− 1 3 − sin 30.7 0 3 sin ϕ = = (σ 1 − σ 3 ) c 1 + 1 3 + µ b sin 30.7 0 3 µ b sin ϕ µ b = 1.0, σ 1 − σ 3 = 208.9 *
（2）对于 TC 试验：
（2）
（1）对于 CTE 试验： b=1.0， CTC 与 CTE 路径下的破坏应力 （σ 1，σ 2 ，σ 3） 在同一个 π 平面上， σ m 为常数。
σ2 − µb =
σ1 +σ2 2σ − σ 1 − σ 3 σ − σ 3 µb + 1 2 = 2 ,b = 2 = , µb = 2b − 1 σ1 − σ 3 σ1 −σ 3 σ1 − σ 3 2 2
σi j - σ k δ 2-3、推导偏差应力张量 Si j = =σ k i j 的第一、第二和第三不变量的一般表达式与
主应力表达的公式。 解：偏应力张量
1 3
⎡ S x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ Sij = ⎢τ yx S y τ yz ⎥ ⎢ ⎣τ zx τ zy S z ⎥ ⎦
其中： Si = σ i − σ m (i = x、y、z ) ； σ m = 根据不变量的定义，有行列式
8 βt e π2 94% ⎯⎯ → β = −0.0046 ct 1-5、 Tv = v 2 H n = 100, 10000t 8 0.01 = 2 e β 10000t , t = 2.3h π 1 −U =
1-6、土工离心机加速度 am=100g，对于蠕变问题，时间的比尺因素为 1，故在离心机上试验 时，在相同荷载下，达到同样的应变时，其时间相等，为 120 年。
分解得到的正应力和切应力，外加应力洛德角便可以以柱坐标（ σ θ 、q、p）的形式表示出 与（ σ 1、σ 2、σ 3 ）对应的应力状态。在土力学中常用极限平衡分析法来解决问题，将应力 在等倾面内分解后，在运用库仑-莫尔公式 τ f = C + σ tan φ 时， τ f 与 q 相对应， σ 便与 p 有关，方便了库仑-莫尔准则的应用。 2-5 、 证 明 在 σ1、σ 2、σ 3 分 别为 大 中小 主 应力 时 ，应 力 洛德 角 满足 如 下关 系 ：
=
[ (σ1 − σ m )( σ 2 − σm ) + ( σ2 − σm )( σ3 − σm) + ( σ1 − σm)( σ3 − σm) ]
1 ⎡ ⎤ = − ⎢σ1σ 2 + σ 2 σ3 + σ1 σ3 − ( σ1 + σ2 + σ3 ) 2 ⎥ 3 ⎣ ⎦ 1 2 2 = (σ12 + σ 2 + σ3 − σ1σ 2 − σ 2 σ3 − σ1 σ3 ) 3 1 = ⎡ (σ − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 ⎤ ⎦ 6⎣ 1
3 − sin 30.7 0 = 148.1Kpa, σ 3 = σ c = 100 Kpa 3 + sin 30.7 0
σ 1 = σ c + ∆σ 1 , σ 2 = σ 3 = σ c −
(100 + ∆σ 1 ) − (100 − 2
∆σ 1 , σ c = 100 Kpa, 代入库仑公式（1）得： 2
角 z x y
(2)
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 #DIV/0! 94.85829 131.7471 85.06421 127.1394 123.3084 119.9487 129.4626 110.8594 132.8127 100.7366 #DIV/0! 74.04884 75.32733 81.66043 69.66952 108.9825 66.89838 98.77058 67.27766 88.67564 70.77126 #DIV/0! 131.0929 92.92558 133.2754 103.1911 67.70911 113.153 71.76684 121.863 78.51163 128.4922
第二章 土的本构关系
2-1、什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力 -应变有什么联系？ 答： 材料的本构关系是反映材料的力学性状的表达式， 表示形式一般为应力-应变-强度 -时间的关系，也称为本构定律、本构方程，也叫做本构关系数学模型。 在上述的本构关系中，视强度为材料受力变形发展的一个阶段，对土体而言，在微小应 力增量作用下土体单元会发生无限大（或不可控制）的应变增量，强度便在此应力应变状态 过程中得以体现。 2-2、说明土与金属材料的应力应变关系有什么主要区别？ 答：金属材料被视作线弹性材料，符合弹性力学中的五个假定：连续性、线弹性、均匀 性、各向同性和微小变形假定，土体应力应变与金属材料完全不同，体现在以下几个方面： 1） 土体应力应变的非线性和弹塑性： 金属材料的应力应变在各个阶段呈线性， 在屈服 强度以内呈弹性； 而由于土体是由碎散的固体颗粒组成， 其变形主要是由于颗粒间的错位引 起， 颗粒本身的变形不是主要因素， 因此在不同应力水平下由相同的应力增量引起的变形增 量不同，表现出应力应变关系的非线性。土体在加载后再卸载到原有的应力状态时，其变形 一般不会恢复到原来的应变状态，体现出土体变形的弹塑性。 2） 土体应力应变的不连续性：一般认为金属材料是由连续的介质组成，没有空隙， 其 应力和应变都是连续的； 而土体颗粒之间存在空隙， 在应力作用时使得颗粒间的相对位置发 生变化，从而增大或减小土体颗粒间的空隙，引起“剪胀” 、 “剪缩” 。 3） 金属材料的应力应变可以在不同的应力水平下分为四个阶段： 弹性阶段、 屈服阶段、 强化阶段和颈缩阶段；土体材料的应力随应变非线性增加，增加到一定程度后或趋于稳定， 亦可在应变增加的情形下应力急剧下降，最后也趋于稳定。