第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2.熟练掌握不定积分的基本公式。
3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
5.掌握简单有理函数不定积分的计算。
[主要知识内容]（一）不定积分有关概念1.原函数定义设f（x）是定义在区间I上的一个己知函数，如果存在一个函数F（x），使得在区间I 上的每一点，都有则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数。
结论：如果f（x）在某区间上连续，则在这个区间上f（x）的原函数F（x）一定存在。
2.不定积分定义函数f（x）的全体原函数的集合称为f（x）的不定积分，记作并称为积分号，函数f（x）为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。
如果F（x）是f（x）的一个原函数，即有，其中C为任意常数（积分常数）。
3.不定积分的性质⑴⑵⑶⑷（k为不等于0的常数）[典型例题]例1[9607]如果等式成立，则f（x）等于A.B. C. D.【答疑编号11030101】[解析] 本小题主要考查不定积分概念。
满分4分。
由不定积分的定义，有，即。
故选B.例2[0004]设cotx是f（x）的一个原函数，则f（x）等于A. csc2x B.-csc2x C.sec2x D. -sec2x【答疑编号11030102】[解析] 本小题主要考查原函数的概念。
满分4分。
由原函数的定义，有f（x）=（cotx）′=-csc2x。
故选B.例3[0304] f（x）=e-x的一个原函数是A. e-xB.e xC.-e-xD. -e x【答疑编号11030103】[解析] 本小题主要考查原函数的概念。
满分4分。
，所以f（x）=-e-x的一个原函数是-e-x。
故选C.例4[0403]设函数，则不定积分等于A. B.2e2x+C C.-2e2x+C D.e2x+C【答疑编号11030104】[解析] 本小题主要考查不定积分的基本性质。
满分4分。
故选D.（二）计算不定积分1.基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）2.不定积分法（1）直接积分法例1.求下列不定积分（1）【答疑编号11030105】[解析]（2）【答疑编号11030106】[解析]（3）【答疑编号11030107】[解析]（4）【答疑编号11030108】[解析]（5）【答疑编号11030109】[解析]【答疑编号11030110】例2[9904]等于A. B.C. D.【答疑编号11030111】[解析] 本小题主要考查简单函数求不定积分。
满分4分。
.故选A.例3[0322]设函数，求______。
【答疑编号11030112】[解析] 本小题主要考查先作函数式的变换，再求不定积分。
满分4分。
由，得,则（2）第一换元积分法若，且有连续的导数，则证:例1.[0111]______.【答疑编号11030201】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分4分。
解一：解二：常用的凑微分公式：①②③④⑤⑥①②③④⑤⑥⑦例2（1）[0218]计算【答疑编号11030202】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分6分。
（2）【答疑编号11030203】（3）【答疑编号11030204】例3.[0022]计算【答疑编号11030205】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分7分。
例4.[9822]计算【答疑编号11030206】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分6分。
（3）第二换元积分法如果是严格单调可导函数，且，又设具有原函数F（t），则有第二换元积分公式其中是的反函数。
常用的换元类型有：被积函数类型所用代换代换名称正弦代换正切代换根式代换例1.计算【答疑编号11030207】[解析] 本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。
令，得，dx=2tdt，则有例2.计算【答疑编号11030208】[解析] 本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。
令，得，，则有例3.计算【答疑编号11030209】[解析] 本小题主要考查通过三角换元（弦变）求不定积分。
令x=sint，得dx = costdt，则有例4.计算【答疑编号11030210】[解析] 本小题主要考查通过三角换元（切变）求不定积分。
令x=tant，得dx=sec2tdt，则有（4）分部积分法分部积分公式u,dv的选择主要有以下类型：类型u,dv的选择幂×指幂×弦令，令幂×对幂×反三令，令指×弦，令例1.计算【答疑编号11030301】[答] xsinx+cosx+C例2计算【答疑编号11030302】[答]例3[0120] 计算【答疑编号11030303】[答]例4计算【答疑编号11030304】[答]例5计算【答疑编号11030305】[答]例6[9921]计算【答疑编号11030306】[解析] 本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。
满分6分。
例7[9621]【答疑编号11030307】例8[9821] 计算【答疑编号11030308】[解析] 本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。
满分6分。
令，得， dx=2tdt，则有例9[9729]计算【答疑编号11030309】[答]例10[0224]设，求f（x）【答疑编号11030310】[解析] 本小题主要考查不定积分的基本性质与分部积分法求不定积分。
满分7分。
（5）简单的有理函数的不定积分例1[0422] 计算【答疑编号11030311】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
满分6分。
例2计算【答疑编号11030312】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
例3[9722]计算【答疑编号11030313】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
满分6分。
求不定积分的歌：微分积分逆运算，先后积微必还原，不定积分是求原函数，不加常数不算完，不定积分提限外，一表三法记心间，牢记基本积分表，通过求导可检验。
直接积分最基本，恒等变型需熟练，换原积分繁化简，积完分后再还原，第一换元最重要，能凑便凑最简单，第二换元不能凑，根式代换常出现，三角代换有两种，只需弦变与切变，分部积分未转化，确定dv是关键，幂指弦幂在前，幂对反后为先，指乘弦出循环，寻求规律抓典型，掌握技巧会再练，今日唱起积分歌，积分运算不算难。
第二节定积分及其应用[复习考试要求]1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的基本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
[主要知识内容]（一）定积分有关概念1.定义设函数y=f（x）在区间 [a, b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<……x n=b,将区间[a, b]分成n个小区间 [x i-1,x i]，其长度为在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点，作乘积，并求和设f（x）在区间 [a, b]上连续且f（x）≥0如果当n→∞，时，上述和的极限存在，且与对[a, b]的分法及的取法无关，则称此极限值为函数f（x）在区间[a, b]上的定积分，记作即并称f（x）在区间[a, b]上可积。
其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a, b]称为积分区间，a称为积分上限，b称为积分下限。
由定积分的定义可以得到①②③2.定积分的存在定理（1）如果f（x）在区间[a, b]上连续，则f（x）在[a, b]上可积。
（2）如果f（x）在区间[a, b]上只有有限个有界间断点，则f（x）在[a, b]上可积。
3.定积分的几何意义定积分几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a, x=b及x轴围成的各部分面积的代数和。
4.定积分的基本性质（1）。
（k为常数）。
（2）。
（3）。
（4）如果f（x）在区间[a, b]上总有f（x）≤g（x），则。
（5）（6）设M和m分别为f（x）在区间[a, b]上的最大值和最小值，则有（7）积分中值定理如果f（x）在区间[a, b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点，使得（二）变上限定积分求导定理1.变上限定积分定义定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。
变上限定积分是积分上限x 的函数，记作，一般有2.变上限定积分求导定理定理如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则有推论①②③3.原函数存在定理定理如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则是f（x）在该区间上的一个原函数。
例1[0003]设函数f（x）在区间[a, b]上连续，则下列结论不正确的是A.是f（x）的一个原函数B.是f（x）的一个原函数（a<x<b）C.是－f（x）的一个原函数（a<x<b）D.f（x）在区间 [a,b]上可积【答疑编号11030401】[答]A例2[0113] 设，则【答疑编号11030402】[答] arctanx例3[9912] 若，则【答疑编号11030403】[解析]本小题主要考查变上限定积分求导定理。
满分4分。
例4[9718]设试讨论f（x）在x=0处的连续性。
【答疑编号11030404】[解析] f（0）=2，∵f（0-0）≠f（0+0），∴f（x）在x=0处间断。
（三）计算定积分1.牛顿——莱布尼茨公式如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有例1.（1）设f(x)有连续导数，且f(a)=3, f(b)=5，则【答疑编号11030501】[答]2（2）[0606]【答疑编号11030502】例2．【答疑编号11030503】[解析]本小题主要考查用牛——莱公式计算定积分。
例3.己知，则k【答疑编号11030504】[答]30例4（1）[0221] 设函数，求【答疑编号11030505】[解析]本小题主要考查分段函数计算定积分。
（2）【答疑编号11030506】2.定积分的换元积分法换元积分定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作变换满足：(1)当t在区间上变化时，的值在[a,b]上变化，且，；(2)函数在区间上单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元积分公式。
例1（1）[0023]计算【答疑编号11030507】[解析]本小题主要考查用换元积分法计算定积分。