牛吃草问题一、知识梳理英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．二、方法归纳同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．三、课堂精讲（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：例1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头牛吃多少天？【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1. 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。
假定草的生长速度不变，那么供19头牛几周吃完？2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？3.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃几周？例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可吃多少天？【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B4. 一片牧草，每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。
如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？5. 有一片草地，草每天的生产速度相同，若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊1天的吃草量相当于1头牛1天的吃草量），那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？例3．一水库存水量一定，河水均匀入库。
5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。
若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机?【规律方法】掌握牛吃草问题的变形，会类比牛吃草问题解决问题。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B6.一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。
如果用12人舀水，6分钟可以舀完。
如果只有5人舀水，要20分钟才能舀完。
现在要想2分钟舀完，需要多少人？7.有一水池,池底有泉水不断涌出。
用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干，那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？例4．某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时有两个收银台工作，哪么付款开始几小时后就没有人排队了？【搭配课堂训练题】【难度分级】 B8.画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。
求第一个观众到达的时间？（二）、草匀速减少，不同头数的牛吃同一片次的草例5．由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。
经过计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？【规律方法】掌握草量匀速减少的牛吃草问题的常见解决方法【搭配课堂训练题】【难度分级】 B9. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。
如果牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？（三）、草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草例6．有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。
草地上的草一样厚而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。
那么第三块草地可供多少头牛吃80天？【规律方法】掌握草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 C10. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。
多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？11. 牧场有三块草地,面积分别是4、8、12公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地可供10只小梅花鹿吃15天,第二块地可供14只小梅花鹿吃25天,第三块地可供15只小梅花鹿吃多少天?四、讲练结合题1．一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?2. 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果33只猴子一起吃，需要几周吃完？（假定野果生长的速度不变）3. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?4. 某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开4个检票口，要30分钟，开5个检票口，要20分钟。
如果同时开7个检票口，需要多少分钟？5. 画展8点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,8点九分就不再有人排队。
如果开5个入场口,8点5分就没有人排队。
第一个观众到达的时间是多少？6. 一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24天。
现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？7. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。
问井深是多少？8. 有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷。
草地上的草一样厚，而其长得一样快。
第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。
问：第三块草地可供50头牛吃几周？五．课后自测练习1. 有一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船已经进了一些水。
如果用12个人淘水，需3小时才能淘完。
如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。
现在要想在2个小时内淘完，需要多少人淘水？2. 有两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。
男孩每秒可以走3梯级，女孩每秒可以走2级梯级，结果从附扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。
请问：该扶梯共有多少级梯级？3. 天山草场，假设每天草都均匀生长。
这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。
问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？4.一片均匀生长的草地,可以供18头牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量.请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完?5.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生话300年.假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少人?6.某火车站的检票口开始检票前已有945名旅客排队等待检票。
此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站。
如果开放4个检票口，15分钟可放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客。
照此放人的速度，现要想在5分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？7.一片草地，可供6头牛吃30天，或者可供5头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天?8.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。
已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。
现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？9.（2016年第二十一届“华赛杯”决赛）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第一天开始每天少一头，可以5天吃完。
那么草场上每天都长出来的草够头牛吃一天。
第九讲 牛吃草问题【答案】例1 设1头牛吃一天的草量为一份 第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；每天生长草量50÷10=5．原有草量(10－5)×20=100或200－5×20=100．25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20=5(天) 答：可供25头牛吃5天.【搭配课堂训练题】1.设1头牛吃一周的草量的为一份.(1)24头牛吃6周的草量144624=⨯(份)(2)18头牛吃10周的草量1801018=⨯(份)(3)）（6-10周新长的草量36144-180=(份)(4)每周新长的草量96-1036=÷）（(份) (5)原有草量9069-624=⨯⨯(份)或90109-1018=⨯⨯(份)(6)全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量,剩下的10头牛吃原有草量,有99-1990=÷）（(周)答：供19头牛吃9周.2.如果每1头牛1周吃草1份,则27头牛6周吃27×6=162 份23头牛周天吃23×9=207 份所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15 份原来牧场有草 162－15×6=72份18周共有草15×18+72＝342份342÷18＝19头答：可供19头牛吃18周3. 假设每头牛每周吃青草1份，青草的生长速度：（23×9-27×6）÷（9-6），=45÷3，=15（份）；草地原有的草的份数：27×6-15×6，=162-90，=72（份）；每周生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的21-15=6头牛吃72份草：72÷（21-15），=72÷6，=12（周）；答：这片草地可供21头牛吃12周．例2 设每头牛每天吃草1份，把羊的只数转化为牛的头数为：80÷4=20（头），60÷4=15（头）；草每天生长的份数：（16×20-20×12）÷（20-12），=（320-240）÷8，=80÷8，=10（份）；草地原有的草的份数：（16-10）×20=120（份）；10头牛和60只羊就相当于有牛：10+15=25（头）；所吃天数为：120÷（25-10），=120÷15，=8（天）；答：10头牛和60只羊一起能吃8天．【搭配课堂训练题】4. 设每头牛每天吃草1份，把羊的只数转化为牛的头数为：60÷4=15（头），88÷4=22（头）草每天生长的份数：（15×24-20×12）÷（24-12）=（360-240）÷12=120÷12=10（份）草地原有的草的份数：（20-10）×12=120（份）12头牛和88只羊就相当于有牛：12+22=34（头）；所吃天数为：120÷（34-10）=120÷24=5（天）答：12头牛和88只羊一起能吃5天5. 设一头牛一天的吃草量为1份，那么70只羊，20只羊转化成牛的头数是：70÷4=17.5（头），20÷4=5（头）；草每天的生长速度是：（14×30-17.5×16）÷（30-16），=140÷14，=10（份），原有的草是：14×30-30×10=120（份），那么17头牛和20只羊也就相当于牛的头数是：17+5=22（头）；那么每天生长的10份的草就够22头牛中的10头牛吃的，剩下的牛去吃120份需要的天数是：120÷（22-10），=120÷12，=10（天），所以22头牛也就相当于17头牛和20只羊10天可将草吃完．答：17头牛和20只羊10天可将草吃完．例3 1台抽水机1天抽水量为1，河水每天均匀入库量：（20×5-15×6）÷（20-15），=10÷5，=2，水库原有存水量：20×5-2×20=60，6天抽干，需要同样的抽水机的台数：（60+2×6）÷6，=72÷6，=12（台），答：6天抽干，需要12台同样的抽水机，【搭配课堂训练题】6.设每人每分钟舀的水是1份。