2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： j4228 所属学校（请填写完整的全名）：**工程大学参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2012 年 9 月 10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口结构和经济发展预测模型摘要众所周知，人口结构和影响经济发展的因素是国家发展和制定政策的基础和依据。

如果不能进行合理的预测，就会给政策制定带来困难甚至做出错误决策。

因此，有必要对人口结构和影响经济发展的因素建立定量的数学模型。

问题一：首先建立了科布道格拉斯生产函数模型，计算出技术进步、固定资产投资、就业人口三个决定因素对经济发展的影响。

然后分析人口结构与经济增长指标，建立多元回归方程，利用回归方程中的标准回归系数的大小综合得出人口结构对经济发展的影响。

问题二，分析人口结构数据的实际数据特点，首先建立了灰色预测模型，对总人口数量，各年龄段人口数量，出生率死亡率，进行了预测。

考虑到性别比例呈波动趋势，则用多个不同周期的三角组合函数拟合，最终对人口结构各因素进行未来三十年预测。

问题三，在放宽一胎化政策下，首先建立了多项式拟合模型，将出生率和0-14岁、大于65岁人口比例进行拟合，然后建立新政策下的出生率函数模型，将新的出生率代多项式拟合函数中，即可求解预测出新政策下人口结构变化，对于性别比例，本文建立了男女比例加权函数模型，在没实行新政策前的基础上，分别对生男生女进行比例概率加权，得到了新政策后的结果。

问题四，在考虑延迟退休年龄情况下，通过建立推迟退休年龄与劳动力增长率之间的关系和劳动力增长率和经济增长率之间的关系，得到推迟退休年龄为65岁时，对经济增长贡献最大，为% 。

问题五，我们跟据当前实际情况和我们模型求解得出的结果，给中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

最后，按照题目要求，将所得结果以表格形式给出，并附上各模型的计算程序，从结果看，本文模型对未来三十年的人口结构和经济增长预测较好。

关键词：科布道格拉斯生产函数灰色预测多项式拟合回归分析一、问题重述自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。

2010年2月14日日本共同社发布消息指出，2010年日本名义GDP为54742亿美元，比中国少4044亿美元，中国已成为全球第二大经济体。

强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就，这些成功不但源于前瞻性的科技政策指导和强大的经济支撑，而且也源于中国高素质的人才资源储备。

近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，可谓随处可见“中国制造”。

以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。

我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

人口与经济发展的关系问题历来是人类社会最基础的问题，我国自开始实行计划生育政策后，在控制人口数量方面取得显着成果。

然而，最近在社会上出现了一些新的现象。

比如：礼貌道德危机事件，征兵体检标准放宽，专家建议延长退休年龄，松绑二胎，养老金缺口加大，中国科学院大学的建立等等。

这些消息和舆论热点层出不穷，我们不可否认现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧，值得我们深思。

针对上述思考和担忧，本文着重解决和回答了以下五个问题：(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。

(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。

(5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

二、模型假设（1）假设查找的数据资料能够正确反映当前社会的真实情况；（2）假设放宽二胎后人口出生率呈线性增长；（3）假设不考虑移民对总人口的影响；（4）假设在预测人口模型中各项指标均在自然资源和环境的承载能力之中；（5）假设不考虑战争、重大自然灾害等因素对人口结构的影响。

三、模型符号说明α： 劳动资本β ： 劳动产出弹性()()0X k ： 灰色预测法的原始序列()()0ˆXk ： 灰色预测法的原始序列预测值 x ： 出生率t ： 时间j M ： 第j 年的男性比例，1,2,3,30j =j W ： 第j 年的女性比例，1,2,3,30j = i l ： 第i 年的男性比例1,2,3,30i =Q ： 就业增长率P : 经济增长率四、模型的建立与求解问题一定量分析影响经济发展的主要因素——科布道格拉斯生产函数模型问题分析对于问题一，首先需要定性分析影响经济发展的主要因素，经济增长理论认为影响一个国家或地区的经济增长的主要决定因素有：资本、劳动、技术进步和社会经济制度，除此之外还与社会环境、生态环境和国际环境也有密切的联系。

本文主要分析了固定资产投资（资本）、就业人口（劳动）、技术进步三个因素。

劳动年龄人口是指在15-64岁的人口，并不完全等同于经济中的实际就业人口，但劳动年龄人口与经济中的实际就业人口之间存在正相关的关系。

经济发展的生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。

根据《从十六大到十八大经济社会发展成就系列报告》可查得数据如下表：表一：近年国内经济生产与就业投资情况表数据来源网址：下面引入科布道格拉斯生产函数模型：αβ分其中Y是生产函数，A代表技术进步，K表示固定资产投资，L表示就业人口，,αβ的组合情况,它有三种类型：①α＋β>1, 称为递别代表资本和劳动的产出弹性。

根据,增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

③α＋β＝1, 称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

为了简化整个模型的分析过程，我们可以对此模型两边同时取自然对数，于是原模型公式变形为下式：运用计量经济学Eviews软件，采用最小二乘法对方程进行回归，得到生产函数为：根据上述分析得到，资本产出弹性α＝，表明资本投入1％的增长，可以导致总产值％的增长，而劳动产出弹性系数β＝．表明：劳动投入1％的增长，可以导致地区生产总值％的增长．而α＋β<1，为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

人口结构对经济发展的影响人口结构一般分为性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构，从中找出几个影响经济发展的自变量：男性占总人口的比例，高校毕业人数，城镇人口占总人口的比例，0-14岁的人口占总人口的比例，15-64岁的人口比例，65岁以上的人口比例（现在国际上通常会把人口划分为三大部分：0-14岁的少年儿童组；15-64岁的成年组；65岁及以上的老年组）。

从全国的经济总量、经济水平、国际贸易等三个方面对经济增长进行指标分解(见下表)。

这样建立起了本文的最终指标体系，为后文的分析奠定了研究基础。

表二： 2011年全国人口结构与经济增长指标体系研究的问题是受多个因素影响的，需要建立多元回归方程，进行多元回归分析。

事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。

但由于各个自变量的单位可能不一样，性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构等等因素都会影响到经济，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。

标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。

这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：取标准分即数据值-数据平均值然后除以标准差之后再进行回归，对数据处理后进行回归，且经过去除残差后，得出结果如下(数据见附录)：问题的结论通过以上模型的求解，可以得出结论：性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构中，年龄结构对经济发展的影响最大。

由于劳动年龄人口是指在l5－64岁的人，并不完全等同于经济中的实际就业人口，但劳动年龄人口与经济中的实际劳动投入量之间存在正相关的关系。

并且从理论上来说，一个人要能成为经济中的劳动力，首先要是劳动年龄人口虽然现实中存在儿童和65岁以上老人参加劳动的现象，但因其数量非常有限，因此可以把劳动年龄人口看作是潜在的劳动投入量，即经济中劳动投入量的上限。

而0－14岁又可作为潜在的劳动力，65岁以上带来了养老金压力大等问题，都对经济有较大影响。

接下来是城乡结构的城镇结构比影响经济的发展，表明城镇与乡村依然存在不平衡发展的问题，且这种不平衡反过来作用于经济的发展，是一种恶性循环。

然后是文化结构影响经济，当今社会依然需要文化力量改变经济，人才仍然需要提高，科技仍然是第一生产力。

性别比对经济的影响稍稍小些，但是也是值得我们关注的，性别不同的人适合不同的工作，当性别比过大，必然也将影响经济，只是现在的影响还较小。

问题二模型的分析问题二是一个关于人口结构预测的问题，我们通过查阅资料并结合实际情况认为人口结构主要包含四个方面：人口总数、出生率、死亡率，年龄结构、性别比例，其他因素对人口结构的影响都是通过这些因素来体现的。