2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）已知中，自变量x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣32．（4.00分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）A．sinB=B．cosB= C．tanB=2 D．cotB=3．（4.00分）如图，已知DE∥BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE：S△COB=4：9，则AE：AC为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：44．（4.00分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．（4.00分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大D．三个视图的面积一样大6．（4.00分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（4.00分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（）A．（+1，﹣1）B．（3+，3﹣）C．（﹣1，+1）D．（3﹣，3+）8．（4.00分）观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角9．（4.00分）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都有可能10．（4.00分）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A．216 B．218 C．238 D．236二．填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4.00分）计算：=．12．（4.00分）如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是．13．（4.00分）如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD长等于，∠CAD的度数为．14．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1=1.3和x2=．15．（4.00分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．16．（4.00分）A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．17．（4.00分）P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC 的平分线交AC于Q，则∠PQC=．18．（4.00分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对．三．解答题（共48分）19．（6.00分）当a=，b=2时，计算：÷（﹣）的值．20．（6.00分）已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，（1）求DC的长．（2）利用此图求sin18°的精确值．22．（8.00分）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？23．（10.00分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．24．（10.00分）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）已知中，自变量x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：A．2．（4.00分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）A．sinB=B．cosB= C．tanB=2 D．cotB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=，sinB=，cosB=，tanB=，cotB=2．故选：A．3．（4.00分）如图，已知DE∥BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE：S△COB=4：9，则AE：AC为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：4【解答】解：DE∥BC．因而△DEO∽△CBO且△ADE∽△ABC根据S△DOE ：S△COB=4：9，因而DE：BC=2：3根据△ADE∽△ABC，因而AE：AC=DE：BC=2：3AE：AC为2：3．故选：B．4．（4.00分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选：B．5．（4.00分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大D．三个视图的面积一样大【解答】解：主视图有4个小正方形，左视图有4个小正方形，俯视图有5个小正方形，因此俯视图的面积最大，故选：C．6．（4.00分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选：B．7．（4.00分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（）A．（+1，﹣1）B．（3+，3﹣）C．（﹣1，+1）D．（3﹣，3+）【解答】解：∵正方形OABC，点B在反比例函数y=（x＞0）上，设点B的坐标为（a，a）∴a×a=4，a=2（负值舍去）．设点E的横坐标为b，则纵坐标为b﹣2，代入反比例函数中y=，即：b﹣2=．解之，得b=+1（负值舍去），即E点坐标为：（+1，﹣1）（亦可如此，点E的横坐标和纵坐标相隔2，∴比较四个选项可知A正确，选择题推荐这种方法，简洁，较为灵巧，避免过多复杂的计算）故选：A．8．（4.00分）观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角【解答】解：∵2012=503×4，∴2012应标在第503个正方形的左下角，故选：D．9．（4.00分）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都有可能【解答】解：能组成三角形的三边有：3，4，5，为直角三角形；4，4，4，为等边三角形；5，5，2，为等腰三角形．故选：D．10．（4.00分）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A．216 B．218 C．238 D．236【解答】解：任意10个人的钱数的和不超过380元，（1）∴任意90个人的钱数的和不少于1620元，由抽屉原理，存在9人的钱数的和不少于162元，（2）（1）﹣（2），一个人最多能有218元．故选：B．二．填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4.00分）计算：=+．【解答】解：﹣3+=2﹣+=+．12．（4.00分）如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是101．【解答】解：根据题意和图表可知，当A=1时，B=2=12+1，当A=2时，B=5=22+1，所以A和B的关系是，B=A2+1．当A=10时，B=102+1=100+1=101，所以当输入的数是10时，输出的数是101．13．（4.00分）如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD长等于，∠CAD的度数为15°或75°．【解答】解：根据直径所对的圆周角是直角，得Rt△ABC和Rt△ABD，根据锐角三角函数，求得∠BAC=45°，∠BAD=30°，①当AC和AD在直径AB的同侧时，∠CAD=45°﹣30°=15°；②当AC和AD在直径AB的两侧时，∠CAD=45°+30°=75°．因此，∠CAD的度数为15°或75°．14．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），∴对称轴为x=﹣1；∴=﹣1，又∵x1=1.3，∴x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.315．（4.00分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是5．【解答】解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A′B===5．16．（4.00分）A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．【解答】解：根据圆上的八个点如同东南西北四个方位及其偏位，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是=，故答案为．17．（4.00分）P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC 的平分线交AC于Q，则∠PQC=45°．【解答】解：连接OC，∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=∠POC，又∵∠APQ=∠CPQ=∠APC，PAC+∠APQ，=（∠POC+∠APC），=×90°，=45°．故答案为45°．18．（4.00分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有27对．【解答】解：N=23x+92y=23（x+4y），且为质数，N为不超过2392的完全平方数，设x+4y=23m2（m为正整数），且N=232m2≤2392，得：m2≤=＜5∴m2=1或4．（1）当m2=1时，由x+4y=23，得：（x，y）=（3，5），（7，4），（11，3），（15，2），（19，1），共5对．（2）当m2=4时，由x+4y=92，得：（x，y）=（4，22），（8，21），（12，20），（16，19）…（88，1），共22对．综上所述，满足条件的（x，y）共有27对．故答案为：27．三．解答题（共48分）19．（6.00分）当a=，b=2时，计算：÷（﹣）的值．【解答】解：÷（﹣）=×=，当a=，b=2时，原式==2（2﹣）20．（6.00分）已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．【解答】解：由题意可得，正方形的周长为：l1=4，圆的周长为：l2=2=，∵=＜，∴．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，（1）求DC的长．（2）利用此图求sin18°的精确值．【解答】解：（1）∵∠B=36°，AB=AC=BD=1，∴∠C=36°，∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°，∴∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴，即DC×（DC+1）=1，∴DC1=，DC2=（舍去），∴DC=；（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，∵AB=BD=1，∴∠ABE=18°，AE=DE=AD∵∠DAC=∠C，∴DC=AD=2DE=，∴sin18°=．22．（8.00分）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？【解答】解：（1）设甲、乙两车速度分别为x千米/小时、y千米/小时，由题意得：，解得：；答：甲、乙两车速度分别为120千米/小时、60千米/小时．（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，乙汽车行驶了y千米，则：，∴2x≤200×10×3即x≤3000．故甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米．方案二：（画图法）如图：此时甲车行驶了500×2+1000×2=3000（千米）．方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点．此时甲车行驶了50×10×2+100×10×2=3000（千米）．答：甲车一共行驶了3000千米．23．（10.00分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．【解答】解：（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），所以直线AC解析式为：y=﹣x+8，因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6﹣x，代入直线AC中得y=，所以P点坐标为（6﹣x，x）；（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x＜6，∴S=（6﹣x）×x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6，∴S的最大值为6，此时x=3；（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA①若MP=PA，∵PQ⊥MA，∴MQ=QA=x，∴3x=6，∴x=2；②若MP=MA，则MQ=6﹣2x，PQ=x，PM=MA=6﹣x，在Rt△PMQ中，∵PM2=MQ2+PQ2，∴（6﹣x）2=（6﹣2x）2+（x）2，∴x=；③若PA=AM，∵PA=x，AM=6﹣x，∴x=6﹣x，∴x=，综上所述，x=2，或x=，或x=．24．（10.00分）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．【解答】解：由方程①知：∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，∴x1＞0，x2＜0，∵△=（m﹣2）2+8＞0，∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m﹣2＜0，∴﹣2＜m＜2，由方程②知：，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=3（舍去），m=﹣1（2分）代入②得：x2﹣（n﹣2）x+2=0，∵方程的两根为有理数，∴△=（n﹣2）2﹣8=k2，∴（n﹣2）2﹣k2=8，（n﹣2+k）（n﹣2﹣k）=8，∵n﹣2+k和n﹣2﹣k奇偶性相同，∴或或或，解得n=5或n=﹣1．第21页（共21页）。