内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75 分目录摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..1关键词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯..1引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2一、预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯ . 21.无穷限反常积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..22.瑕积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯33.反常积分的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯3二、反常积分的收敛判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. 41 无穷积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯4(1). 定义判别法(2). 比较判别法(3).柯西判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 5(4)阿贝尔判别法 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.6(5).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯7 2 瑕积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯. .⋯8(1). 定义判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯8(2). 定理判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.9.(3). 比较判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯9(4).柯西判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯9(5).阿贝尔判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯.10(6).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯10.参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯11摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。
我们将这两种积分统称为反常积分。
因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。
关键词：反常积分瑕积分极限敛散性1引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。
如华东师范大学数学系编，数学分析（上册） ，对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧， 也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解， 还用图形的方法说明其意义。
引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广， 实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献， 对我完成此次论文有很大的帮助， 但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究， 而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。
一 、 预备知识1. 无穷限反常积分 定义 1.1设函数 f ( x) 在 ａ，＋∞）有定义，若 f (x) 在 [ａ， A] 上可积（ ）[ A>a A f ( x)dx 存在，称反常积分f ( x)dx 收敛，否则且当 A →＋∞时， limAaaaf (x)dx 发散。
称反常积分f ( x)dx 与a对反常积分f ( x)dx 与f ( x)dx 可类似的给出敛散性定 义 。
af ( x)dx 都收敛时，才认为f ( x)dx 是收敛的。
注意：只有当f ( x)dx 和2．. 瑕积分定义 1：设 f(x) 在a 的任何邻域内均无界，则称a 为 f(x) 的一个瑕点定义 2：设 f(x) 在[a,b) 内有定义，且 b 为唯一瑕点，若limb δf ( x)dx 存δ 0ab在，称瑕积分f (x)dx 收敛a定义 3：设 Ca, b且为 f(x)的一个瑕点，若b 均收敛，则称瑕积分f ( x)dxacadf ( x)dx 和 c f ( x)dx3. 反常积分的性质2(1)Cauchy 收敛原理：a f ( x)dxA2时，有A1f ( x ) dx<ε(2) 线性性质：若 f ( x)dx 与aa k1 f ( x) k2 g ( x) dxk1 ( f 2 )x = k1 a(3)积分区间可加性b a,, f ( x)dx =a(4) 若a f ( x) dx 收敛，则a二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别（1）定义判别法收敛对εA0 >a, 当A>A2>A>0，10g ( x)dx都收敛，则对任意常数 k1, k2，a也收敛，且有( f (kx)dx ) kg g ( x)dx d x a2a，若 f ( x)dx收敛，则abf ( x)dx .f ( x)dxa bf ( x)dx≤f ( x) dx 。
a设函数 f 定义在无穷区间[ a,) 上，且在任何有限区间[a,u] 上可积.如果存在极限lim u a f ( x)dx J ，u则称a f (x)dx收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例 1.1 计算无穷积分0xe px dx （p是常数，且 p0 ）解：px x px1px1px10 xe dx pep 0e dx p2e0p2式中 lim xe px lim xpx lim1p x0x xe x pe3(2). 比较判别法的普通形式： f ( x), g ( x) 在 a,有 定 义 ， 且0 f ( x) g ( x)( x a)（a ）g ( x)dx <f ( x)dx <aa（b ） af ( x)dx =+ag ( x)dx =+例 1.2 讨论sin xdx 的收敛性1x 2sin x1 ， x 0,解：由于 1x 21 x2dxπ因为1x22 为收敛，所以根据比较判别法收敛。
(3). 比较判别法的极限形式： f ( x), g ( x) 在 a,lim f ( x)l则：xg ( x)sin x dx 为绝对1x2有定义，且非负，且al = 0时，g ( x)dx （ ）当a（ ）lg ( x)dxb+ 时， a<=aaf ( x)dx <f ( x)dx =（c ） 0 <l <时，g ( x)dx ，f ( x)dx 具有相同点敛散性。
aa证：（ 1) 若 limf ( x ) lxg ( x )，由极限的性质，存在常数 A （A>a ）使得当 xA 时成立f ( x)g ( x)< l + 1即 f (x) < (l + 1) g ( x)于是由比较判别法，当g ( x )dx 收敛时a4f ( x)dx 也收敛a（）若 lim f ( x) =l > 0，由极限的性质，存在常数（a ），2g ( x)A Ax??使得当 x A 时成立f ( x ) > l'其中 0 < l'< l f ( x ) > l'g ( x)g ( x )于是由比较判别法，当g ( x)dx发散时 f ( x)dx也发散a a例 1.3讨论1dx的敛散性1 3 x 4 3 x3 5 x2 2 x 1解： lim3x 41，而1dx收敛，43213x3x 3 x 5 x 2 x1x4所以131dx 收敛x43 x35 x22 x1总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函1数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取x p 为比较对象的，因为它们正好能满足这俩个条件(4). 柯西判别法：设 f ( x) 在a,有定义，在任何有限区间 [a, u] 上可积，且lim x p f xλx则有：当 p1, 0λ时， f ( x) dx 收敛a当 p 1 ，时， f ( x) dx发散a(5). 阿贝尔判别法： f ( x) g ( x)dx 满足：a（ a）f ( x)单调有界5（ b ）g ( x)dx 收敛a则f ( x)g ( x )dx 收敛a证： 由于存在M>0，使 f ( x )M( x a ) 再 由（ 2 ）可 知，A 2对 εAa ,当A>A>A 时，有210" >0,A 1又f ( x )g ( x)dx < εA 2 ζ A 2 g ( x )dxf ( x)g ( x )dx = f ( A 1 )g ( x)dxf ( A 2 )MA 1A 1ζ（ ε εMε再次由柯西准则知 Abel 定理成立。
+ ）=2例 1.4证1 sin λxarctan xdx (0< λ 1 ) 收敛x利用阿贝尔判别法， 因为sin λxdx 收敛，又 arctanx 在 1,上1 x单调有界，故1sin x arctan xdx 是收敛的x λ(6). Dirichlet判别法：a f ( x) g ( x)dx 满足（1）f(x) 单调且趋于 0（x0）Ag ( x)dx（2）a有界（ a>A ）则 a f ( x) g ( x)dx 收敛。
A AM又由于 f证：由于存在 M>0，g (x)dx 有界，所以有g ( x) dxaa（ x ）0 （ x) 故 对 对 ε>0,A 0a , 当 A 2 >A 1 > A 0 时 ， 有21ε2ε1εf ( A )- f ( A )<即f ( A ) <， f ( A ) <， 所 以ζζAg) x 2 M d xf ( x ) d x(g ) x d x(同理有A 2aa6A 1 g ( x ) dx2 M当 A 2,>A 1时 A 0，ζ， 故有A 2 f ( x ) g ( x ) dxf ( A 2 )ζ f ( A 1 )A 1 A 1 g ( x ) dx g ( x ) dxa ζ4 M ε例 1.5证积分1sin xdx 收敛，但不绝对收敛xA1 证：sin xdxcos A cos 1 2 ，而 1 x单调且当 x时趋于 0，故 由Dirichlet判别 法知1 sin x dx 收敛；但xsxi nsxi n x 2ssxi i 1nn= 1- cos 2 x而xxx2 x 2 xA2 xdx 1 sin 2 Asin 111cos， 2 x单调趋于0 ， 故12co 2sxdx 收敛，而1 dxAsin xdx 发散发散，故1 12 x12 x例 1.6 1 x pdx 的敛散性积分当 p0 时是可积的；当 p < 0 时，它是不可积的，因为这时被积函数在 [0 , 1] 上无界。