圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF Ca =2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ•b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F 中∵ 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅∴ ()21212122cos 2PF PF PF PF PF PF θ⋅=+-⋅∴ 21221cos b PF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =max 122c h bc ⨯⨯= （3 ()()()222222221200222222212004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a - 即∠F 1PF 2最大3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OMxxx由已知有 1PF FP = M 为1F F 中点 ∴ 212OM FF ==()1212PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。

令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM=()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a+=====+ ∴IRPI= e6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。

证明：令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。

∵ ()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =⎫⇒+=+⇒⎬=⎭()()1212122AB R e d d R e d d ==+⇒=+∵ ()1212d d d =+∵ 01e ∴ R d∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离xyxx7、A 为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则： （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣ 证明：连接11,,AP AF PF∵ ()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+- ∵ 111AF AP PF AF -≤-≤∴ 12122a AF AP PF a AF -≤+≤+ ∴ （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣8、A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则 （∣PA ∣+ePF 2）min = A 到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PF PFe d d e=⇒= ∴（∣PA ∣+ePF 2）min =()minPA d+ = A 到右准线的距离.9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x =±a 上。

证明：令☉I 与⊿PF 1F 2三边所在的直线相切于M 、N 、A∵ PM PN = 22F N F A =∴111221PF PN F M F F F N F A+=+=∵ 11FM F A = ∴ 1122PF PN F F F N +=+∵ 22F N F A =∴ 121222PF PN F N F F F N F A++=++xx∵ 22F N F A = ∴ 2222a c F A =+∴ 2a c F A =+ 即为椭圆顶点。

∴ 焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x =±a 上10、P 是椭圆上任意一点，PF 2的延长线交右准线于E ，K 是准线 上另一任意点，连结PK 交椭圆于Q ，则KF 2平分∠EF 2Q 证明：令P,Q 到准线的距离为12,d d2122212122222212PF e d PF QF PF d QF d d QF d PF PK e d QF QKd PKd QK ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⇒=⇒=⎬⎪⎪=⇒=⎬⎪⎭⎪⎪=⎪⎭由三角形外角平分线性质定理有KF 2平分∠EF 2Q11、)(2112定值ba BF AF =+ 证明：令()()1122,,,A x y B x y当AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为(y k x c =-∵()22222222222222(2)0y k x c b x a k x k cx c k a b x y ab =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+⎪⎩22222222222()20b a k x a k cx a k c a b ⇒+-+-=∴ 22122222a k c x x b a k+=+ 2222212222a k c a b x x b a k -=+∴12121111AF a ex BF a ex AF BF a ex a ex =-⎫⎪⇒+=+⎬=---⎪⎭()()122212122a e x x a ae x x e x x -+=-++x Ex=2222222222222222222222222222222222222222222222()a k c c a k ca e ab a k a b a k a kc a k c a b a k c c a k c a ba ae e a aeb a k b a k b a k a b a k --⋅++=---+-+++++ 32222422222242222222a k ab akc a k a b a k c c k b c +-=+-+- ()2222224222222222222ak a c ab ak ak b a b b c k b a c-++==+-+- ()()22222121a k ab b k +==+ 当AB 的斜率存在时，222112a a a AF BF b b b+=+= ∴)(2112定值baBF AF =+12、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点， 则22ab K K OPAB -=•（定值）证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x +=()1202y y y+=∵ ()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+∵ ()()1212AB y y k x x -=-，0OPy k x =∴ 221ABOPb k k a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭∴ 22AB OPb k k a⋅=-13、椭圆的短轴端点为B 1、B 2，P 是椭圆上任一点，连结B 1P 、B 2P 分别x交长轴于N 、M 两点，则有∣OM ∣*∣ON ∣ =a 2证明：()()()()()1210020,,0,,0,,,0B b B b N x P x y M x - ∴()()()()2002210011,,,,,,B P x y b B M x b B P x y b B N x b =-=-=+=∵ 由于2B 、P 、M 共线∴ 000220x y b bx x x b y b--=⇒=--∵ 由于()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=--、P∴000110x y b bx x x b y b+=⇒=+ ∴ 222200222200x b x b OM ON AB y b y b-⋅==-- ∵ 22222222000002222221x y x b y b x a a b a b b y -+=⇒=⇒=- ∴ 2OM ON a ⋅=14、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点， 连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1,0A a - ()2,0A a∴()()100200221122,,,,,,,A P x a y A P x a y a a A M a y A N a y c c =+=-⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵ 由于1A 、P 、M 共线∴ 20001210()a y a x a y c y a y x a a c⋅++=⇒=++ ∵ 由于2,,A P N 共线x∴ 20002220()a y a x a y c y a y x a a c⋅--=⇒=-- ∴ 22242200012222000()()a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ⋅-⋅+-==⋅-+- ∵ 22220002222201x y y b a b x a a+=⇒=--∴ 24221222b a a c y y a c -=-⋅42b c=- ∵ 21412222,,a FM c y c b FM FN y y c a FN c y c ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⇒⋅=+⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭∴ 0FM FN ⋅=∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦该准线对应的焦点。

证明：设20,a M y c ⎛⎫⎪⎝⎭ 则AB 的方程为20221a xy yc a b+=即 021y yx c b+=必过点(),0c16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。

证明：设()00,P x y ，则过P 点的切线l ：00221x x y ya b+=，直线l 的法线x 交轴于Q 直线l 的法向量为：0022,x y n a b ⎛⎫=⎪⎝⎭ ∵()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=-- ∴222220002PF c x y cx =++-xm2222200022b x c x cx b a=+-++42220022a c x a cx a +-=()2022a cx a-= 同理 21PF ()2022a cx a+=∵ 22000122cx x y n PF a b --⋅=-222200022cx x b x b a a --=-+202a cx a --=同理2022a cx n PF a -+⋅=∴ 202222022cos a cx n PF a F PQ a cx PF nn a -+⋅∠==-⋅⋅ 1n = 202222022cos a cx n PF a F PQ a cx PF n n a -+⋅∠==⋅-⋅⋅1n = ∴ 12F PQ F PQ ∠=∠即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。