其中 ＝ ＋ i
齐次方程解： y k1et k 2 et 、 为方程 x 2 ax b 0 的解。
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或 y (k1 k 2 t) et 方程特解：
（ 1） 不是方程的解，令
y(t) Q (t) e t
（ 2） 是方程的解，令 y ( t ) tQ ( t ) e t
A s B s 的相反方向加一对同：方向的对称平衡重量
（在Ⅰ、Ⅱ平面内)，在
A
、
D
B D的相反方向加
一对反方向的对称平衡重量（亦在Ⅰ、Ⅱ平面内），
就可使整个转子达到平衡。
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❖ 结论：同方向对称力 A s 、B s 可以认为是由 于静不平衡分量产生的，反方向对称 力 、 A D B D ，可以认为是由动不平衡分量产 生的。所以，对刚性转子而言，可用同方 向平衡重量平衡静不平衡分量，用反方向 平衡重量平衡动不平衡分量。
❖ 与没有阻尼的相比，有阻尼的情况下，临界 转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少。同 时，随阻尼的增大，临界转速的数字将有所 增加，但增加量很小。
❖ 临界转速时，振幅滞后于激振力90。 ❖ 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过
程中形成的激振力与转子系统发生共振时的 转速。
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结论3
❖ 在一定转速下，由于原点、轴心、质量偏心 的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点 在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形 回转”。这时转子的变形形状在转动过程中 保持不变，转子不承受交变 应力。（忽略静挠度）
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z K e n t sin( 1 2 n t )
2＋
n
2 i
2 n
2 e i t ;
第一项很快衰减为
0；
第二项为：
（ （） ） 1
n
2
n
2 ＋ i2
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n
e i t ;
其幅值及角度为：
A
（
n
）2
；
1
（
n
）2
2 ＋
4
2 n
（ 3） 是方程的重解，令
y(t) t2 Q (t) e t
Q (பைடு நூலகம் )与 (t )同为 m 次多项式
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对于
..
.
y a y b p (t ) iq (t )
可分别求
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若 u (t )、 v(t )为上述二方程的特解
❖ 影响临界转速的因素 ❖ （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 ❖ （二）转子结构型式对临界转速的影响 ❖ （三）叶轮回转力矩对临界转速的影响 ❖ （四）轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响
❖
❖
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❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响 ❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都
不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例， 对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透 平转子的临界转速分别下降 了18%、16.3%和40%。
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。 实用文档
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线）
S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
SnxAns
inKnxAns
innx
l
n1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所
2
tan(
)
2 1 （
n
）2 n
;
z A e i ( t－ )， z 为轴心位置 ; 实用文档
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结论1
❖ 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种
运动，一是圆盘以角速度绕自己轴心
的自转，一是轴心以角速度绕圆盘的
静挠曲线的涡动。 ❖若无阻尼（ ＝0 ），当 n 时，振幅
趋于无限大。由于实际中存在阻尼，此 时振幅会达到一个有限的峰值。
刚性转子的平衡原理 一、转子不平衡类型 (一)静不平衡：如果不平衡质量矩存在于质心所 在的径向平面上，且无任何力偶矩存在时称为静 不平衡。它可在通过质心的径向平面加重（或去 重），使转子获得平衡。
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❖ (二)动不平衡 ❖ 假设有一个具有两个平 面的转子的重心位于同一转轴 平面的两侧，且m1r1=m2r2， 整个转子的质心Mc仍恰好位于 轴线上（图3-3），显然，此 时转子是静平衡的。但当转子 旋转时，二离心力大小相等、 方向相反，组成一对力偶，此 力偶矩将引起二端轴承产生周 期性变化的动反力，其数值为：
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结论2
< n = n
>n
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n》
结论2
❖ 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频 率相同，即和转动频率相同；
❖ 涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜ 时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
❖
时，为90~180。
n
》 n
，相位差为180，即质心位与原点
与轴心之间。
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示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。
在节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
1c 2
EI
FL4
2c (2)2
EI
FL4
3c (3)2
EI
FL4
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❖ 转子的振形为：
AS S(x)n 1n 2 22
n
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即
(2) A 0、 B 0之间夹角很大（≈180º），且振幅值相接近 （图3-13）。应加（或减）反对称平衡质量。
(3) A 0 、 B 0 之间夹角接近90º，振幅值相差不大
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(4)（图3-14）。应在两侧加对称和反对称平衡质量。
❖
振动初步分析
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❖ (4) A 0 、 B 0 之间夹角不大，但振幅相差很大（图 3-15）。在A端加平衡质量（动．静） (5) A 0 、B 0 之间夹角很大（≈180º），振幅相差
a) b)
实用文c) 档
❖ 等直径均布质量的转子，在二端刚性支承、无阻 尼的条件下，转子的自振频率 n c n 为
ncn
n2
2l2
EI / FS1
n 1,2,3
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率， 它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按 照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率 。 由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相 同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频 率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1,nc2,nc3 。 转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小， 取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
A0 As AD
B0 Bs BD
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则
As Bs 12(A0B0)
As Bs 12(A0B0)
初步分析 A 、s B 及s A、D B 的0 数值及相位，就能判断引 起振动的主要原因（是静不平衡还是动不平衡造成）以 及不平衡质量主要位于哪一侧。 (1) A 0 、 B 之0 间相位差不大（＜＝45º）、振幅值也相差不 大（图3-12）。由于 As ；AD Bs ，B说D 明振动 主要由静不平衡引起、加减（或减）对称（同相）平衡 质量即可消除或减小振动。
Ⅱ平面上的平行力 、
❖
力
同理,将
F2
、
1
F2
2，
F2分解为Ⅰ、Ⅱ平面上的平行
迭加 F1、1 F1为2 ；A 迭加
、F12
F为2 2
力B与显不而平易衡见离，心作力用在Ⅰ、F1 、Ⅱ等F2平效面。上的 A、 B两
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❖ 如果转子上有多个不平衡离心力存在，亦可同样 分 都解只到有任两意个选不定平衡Ⅰ合、力Ⅱ（平面A 上、再B合）成（，Ⅰ最、终Ⅱ结平果面 上 了各，一即个仅）分。别到在此Ⅰ校、正Ⅱ转平子面不不平平衡衡的合任力务A 、就B简的单对 侧（反方向）加重（或去重），使其产生的附加 离心力与上述不平衡合力相等，这样转子就达到 了平衡。
。
ABFlm1lr LL
w2 g
这种由力偶矩引起的转子及
轴承的振动的不平衡叫做动不
平衡。
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❖ (三)动静混合不平衡 ❖ 实际转子往往都是动静混合不平 衡。转子诸截面上的不平衡离心力 形成的偏心距不相等，质心也不在 旋转轴线上。转动时离心力合成成 为一个合力（主向量）和一个力偶 （主力矩），即构成一静不平衡力 和一动不平衡力偶。（图3-4）。
❖ 刚性转子的任一不平衡离心力均可分解为任选二 平面上的一对对称力及一对反对称力。同理,振动 也可分解为一对对称分振动及一对反对称分振动。
❖ 若在二支承转子两端测得A侧振动值为A 0 、B侧振
❖ 动值为B 0 。将二振动矢量移动交于一点0，再
❖ 将 A 0 、B 0 顶点连线的中点与0点相联，即得：
转子动力学基本理论
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基础数学知识
.
.
y a y by f ( t )
f (t) (t) et
f ( t ) ( t ) e t sin( t )
f ( t ) ( t ) e t cos( t )
( t ) 为 m 次多项式
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统一为：
f (t) (t) et
则特解为 y u (t ) iv (t )
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有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性
❖ 单圆盘转子模型
最简单的转子模型是单圆盘转子。轴两端为简支，一 个圆盘固定在轴的中部(图1),A1CA2为静挠度曲线。