2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2018.6.29一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i12i（）A．43433434i B．i C．i D．i555555551．【解析】12i 12i234i34i12i12i12i555，故选D．2．已知集合A {(x,y)|x2y23,x Z,y Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．42．【解析】A {(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)}，元素的个数为9，故选A．3．函数f(x)e x e xx2的图像大致为（）y yA．1O1x B．1O1xy yC．1O1x D．1O1x3．【解析】f(x)e x ex2xf(x)，即f(x)为奇函数，排除A；由1f(1) e 0e排除D；由1/10e 4e 411111f (4)(e2)(e )(e ) e f(1)1616e2e e e排除C，故选B．4．已知向量a,b满足a 1，a b1，则a (2a b)（）A．4B．3C．2D．04．【解析】a (2a b)2a a b213，故选B．5．双曲线x2y21(a 0,b 0)a2b2的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．y 2x B．y 3x C．y23x D．y 22x5．【解析】离心率c c2a2be 3a a2a223，所以ba2，渐近线方程为y 2x，故选A．6．在ABC中，cos C5，BC 1，AC 5，则AB （）2542A．cos C 2cos 6．【解析】230B．B3125，C．29D．25开始由余弦定理得AB BC2AC22B C AC cos C 42，N 0,T 0故选A．i 17．为计算S 11111123499100，设计了右侧的是i 100否程序框图，则在空白框中应填入（）A．i i 1N N1i S N TB．C．i i 2i i 3T T1i 1输出SD．i i 4结束7．【解析】依题意可知空白框中应填入i i 2．第1次循环：N 1,T 12,i 3；第2次循环：11111111N 1,T ,i 5； ；第50次循环：N 1 ,T ,i 101 32439924100，结束循环得S 11111123499100，所以选B．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如的概率是（）30723，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于3022/10A．1111B．C．D．121415188．【解析】不超过30的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个．从中选取两个不同的数，其和等于3031的有：7与23、11与19、13与17，共3对．则所求概率为，故选C．C215109．在长方体ABCD A B C D中，AB BC 1，AA111113，则异面直线AD与DB所成角的余弦值为11（）A．15B．552C．D．6529．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,1,0) ，D (1,0,3)，D(1,0,0)，B(0,1,3)11所以AD (0,1,3)，DB (1,1,3)，111125则cos AD,DBAD DB25 511，，故选C．D1DxC1CzAA1BB1y10．若f(x)cos x sin x在[a,a]上是减函数，则a的最大值是（）A．B．42C．34D．10．【解析】因为故选A．f(x)cos x sin x32cos(x )在区间[,]上是减函数，所以a的最大值是，444411．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3) f(50)（）A．50B．0C．2D．5011．【解析】因为f(x ) f(x)，所以f(1x)f(x 1)，则f(x 1)f(x 1)，f(x)的最小正周期为T 4．又f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)2，f(4)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3) f(50)12[f(1)f(2)f(3)f(4)]f(49)f(50)f(1)f(2)2，选C．12．已知F,F是椭圆C:12x2y21(a b 0)a2b2的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF F12为等腰三角形， F F P 12012，则C的离心率为（）A．23B．12C．11D．3412．【解析】如图，因为PF F12为等腰三角形，F F P 12012且F F 2c12，所以PF F 3012，则PAD DB 113/10的坐标为(2c,3c)，故kPA3c32c a6，化简得4c ac1，所以离心率e ，故选D．a4yPA F O F12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．x 13．曲线y 2l n(x 1)在点(0,0)处的切线方程为．13．【解析】y2x 1y | 2 ，则曲线y 2l n(x 1)在点(0,0)x 0处的切线方程为y 2x．14．若x,y 满足约束条件x 2y 50x 2y 30，则z x y的最大值为．x 5014．【解析】可行域为ABC及其内部，当直线y x z经过点B(5,4)时，zmax9．15．已知sin cos 1，cos sin 0，则y s in()．15．【解析】sin cos 2si n22sin cos cos2B1，Acos sin 2cos22cos sin sin20－3O ，C5x则sin22sin cos cos2cos22cos sin sin2011，即22sin cos 2cos sin 1sin()12．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45 ，若SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为．16．【解析】如图所示，因为c os ASB 78，所以sin ASB158，SSSAB115SA SB si n ASB SA2162515，所以SA 45．又SA与圆锥底面所成角为45 ，即SAO 45 ，AO则底面圆的半径OA 210，圆锥的侧面积S OA SA 402．B三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）4/10记Sn 为等差数列a的前n n项和，已知a71，S 153．（1）求a的通项公式；n（2）求S，并求S的最小值．n n17．【解析】（1）设等差数列a n的公差为d，则由a71，S 3a 3d 1531得d 2，所以a 7(n 1)22n 9，即a n n 的通项公式为a 2n 9n；（2）由（1）知Sn n(72n 9)2n28n，因为S (n 4)n216，所以n 4时，S的最小值为16．n18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额投资额y（单位：亿元）的折线图．240220209220200180171184 160148140120100122129608040201419253537424247535620002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2, ,17）建立模型①：yˆ30.413.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2, ,7）建立模型②：yˆ9917.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．18．【解析】（1）将t 19代入模型①：yˆ30.413.519226.1（亿元），所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元；将t 9代入模型②：yˆ9917.59256.5（亿元），所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元．（2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：5/10答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线yˆ30.413.5t的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线yˆ9917.5t的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．（12分）设抛物线C:y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A,B两点，AB 8．（1）求l的方程；（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．19．【解析】（1）焦点F为(1,0)，则直线l: y k(x 1)，y k(x 1)联立方程组，得y24xk2x2(2k24)x k20，yA令A(x,y),B(x,y)，则x x1122122k2k42，x x 112．－1O F x根据抛物线的定义得AB x x 2812，B即2k2k426，解得k 1（舍去k 1），y x 1所以l的方程为；（2）设弦AB的中点为M，由（1）知x x1223，所以M 的坐标为(3,2)，则弦AB的垂直平分线为y x 5，令所求圆的圆心为(m,5m)，半径为r，根据垂径定理得AB m 5m 1r2222m212m 34，由圆与准线相切得m 12m212m 34，解得m 3或m 11．则所求圆的方程为：(x 3)2(y 2)216或(x 11)2(y 6)214420．（12分）如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 22，PA PB PC AC 4，O为AC的中点．（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角20．【解析】（1）证明：连接O B，2M PA C为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．P 6/10PA PC，O为AC的中点，PO AC， AB BC 22,AC 4，AB2BC2AC2，即AB B C ，OB 12AC 2，又PO 23,PB 4，则OB2PO2PB2，即OP OB，AC OB O ，PO 平面ABC；（2）由（1）知OB,O C,OP两两互相垂直，zP 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，A (0,2,0)，P(0,0,23)，BC (2,2,0)，AP (0,2,23)，C P (0,2,23)令则BM BC，[0,1]．OM OB BC (22,2,0)，AM (22,22,0)，A OMC y令平面PAM的法向量为n (x,y,z)，B x由n A Pn A M2y 23z 0(22)x (22)y 0，取x 31，得n(31,31,1)易知平面PAC的一个法向量为m (1,0,0)，所以cos n,m n mn m 3(1)23(1)3(1)2(1)23(1) 7227cos3032，解得1422（舍去3），即n (3,3,) 3333，因为cos n,C P n CPn CP83843343，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为．421．（12分）已知函数f(x)e x ax2．（1）若a 1，证明：当x 0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a．21．【解析】（1）方法1：欲证明当x 0时，f(x)1，即证明e xx211．令g(x)3x 1x 1x e2x1，则g (x)e x(x21)2xex(x1)2e2222x0，7/10则g(x)为增函数，g(x)g(0)1，得证．方法2：a 1时，f(x)e x x2，则f (x)e x 2x，令f (x)g(x)，则g (x)e x 2，x [0,ln2)时，g (x)0，g(x)为减函数，x (ln 2,)时，g (x)0，g(x)为增函数，所以g(x)ming(ln2)22ln 2 0，即当x 0时，f (x)0，f(x)为增函数，所以f(x)f(0)1，因此a 1，x 0时，f(x)1．（2）方法1：若f(x)在(0,)只有一个零点，则方程exx2a只有一个实数根．令h(x)exx2，等价于函数y h(x)的图像与直线y a只有一个公共点．又h(x)x2e x 2x e xx 2ex4x3x，x (0,2)时，h (x)0，h(x)为减函数，x (2,)时，h (x)0，h(x)为增函数，所以h(x)mine2h(2)，x 0时h(x)，x 时h(x)4．则a e24时，f(x)在(0,)只有一个零点．方法2：若f(x)在(0,)只有一个零点，则方程e xxax只有一个实数根．令h(x)e xx，等价于函数y h(x)的图像与直线y ax只有一个公共点．当直线y ax与曲线y h(x)相切时，设切点为(x,)x，又h (x)xe x e xx 1ex2x2x，则h (x)x 1e x0 e x0x 2x x00，此时a h (x)e24．又当x (0,1)时，h(x)0，h(x)为减函数，yx (1,)时，h (x)0，h(x)为增函数，所以h(x)minh(1)e，且x 0时h(x)，x 时h(x)．根据y h(x)与y ax的图像可知，O12xa e24时，函数y h(x)的图像与直线y ax只有一个公共点，即f(x)在(0,)只有一个零点．e x022（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．8/1022．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）在 直 角 坐 标 系xOy中 ， 曲 线C的 参 数 方 程 为x 2 cosy 4sin(为 参 数 ) ， 直 线 l的 参 数 方 程 为x 1 t cos y 2 t sin(t为参数)（1）求C和 l的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l的斜率．22．【解析】（1）消去参数 ，得 C 的直角坐标方程为x 2y 2 1 416；消去参数 t ，得 l 的直角坐标方程为 sinx cosy sin2 cos；（ l的直角坐标方程也可写成：ytan( x 1) 2(2)或 x 1 ．）（2）方法 1：将 l 的参数方程：x 1 t cos y 2 t sin(t为参数 )代入C :x 2 y 21 416得：41t c os22t s i n216 ，即 1 3cos 2 t242cossint 8，由韦达定理得tt1242cos sin1 3cos 2，依题意，曲线 C 截直线 l 所得线段的中点对应tt 1220 ，即 2 cossin0 ，得 tan2．因此 l 的斜率为 2．方法 2：令曲线 C与直线 l的交点为A ( x , y ),B ( x , y ) 1122，x 2 y 2 1 4 16 则由x y 2 2 4 1611得x xx xy yy y 1 21212124 16，其中xx2, yy4 1212．所以xx yy yy 1 21212 24xx122，即 l 的斜率为 2 ．23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）设函数f ( x ) 5 x a x 2．（1）当 a1 时，求不等式f ( x ) 0的解集；（2）若f ( x )1，求 a的取值范围．23．【解析】（1） a1 时， f ( x ) 5 x 1 x 2，x 1时， f ( x ) 5 x 1 x 2 2 x 4 0 ，解得 2 x1；1 2 21x2时，f(x)5x1x220，解得1x2；9/10x2时，f(x)5x1x22x60，解得2x3，综上所述，当a1时，不等式f(x)0的解集为[2,3]．（2）f(x)5x a x21，即x a x24，又x a x2x a x2a2，所以a24，等价于a24或a24，解得a的取值范围为{a| a2或a6}．10/10。