《图象变换的顺序寻根》
题根研究？
一、图象变换的四种类型
从函数y二f (x)到函数y二A f ( ： "「)+m其间经过4种变换：
1. 纵向平移——m变换
2. 纵向伸缩——A变换
3.横向平移一一变换
4. 横向伸缩一一总变换
一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.
以下以y二sin x到y二A sin ( ' ：」)+m为例，讨论4种变换的顺序问题
V：= / (x)= 1+ 3sin( 2x-
［例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎
样的平移和伸缩变换而得到
【解法1】第1步，横向平移:
将y二sin x向右平移：，得
第2步，横向伸缩:
L-1—A ——J —
将. 二的横坐标缩短二倍,
第3步：纵向伸缩:
v 二s£n( 2x——''i
将. -的纵坐标扩大3倍，得
第4步：纵向平移:
v = 3sin(2x——) v = 1 + ——
将二向上平移1,得
【解法2】第1步，横向伸缩:
2
将y 二sin x 的横坐标缩短二倍，得 y 二sin 2 x
第2步，横向平移:
第3步，纵向平移:
y — sinC2x ——） 将， -向上平移】；，得
第4步，纵向伸缩:
v = — 4- sinf 2x —
将1 1的纵坐标扩大
71 【说明】 解法1的“变换量”（如右移：）与参数值（「对应，而解法2
71
71
中有的变换量（如右移1）与参数值（一）不对应，因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大.
【质疑】 对以上变换，提出如下疑问：
（1） 在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有 变 （2） 在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一
如当匚<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向） （3） 在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一
如1^1 > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”
【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y 二A
f （-八i ）+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方
程式
-r （y^' ） = f （一」），则x 、y 在形式上就“地位平等”了
v = 1 +
2x-
— （v — 1） = sinf 2x -—）
71
将y 二sin 2 x 向右平移；一：，得
尸二
sin （ 2孟一—
.-I + 3sin( 2x ——
3倍，得. -
71
如将例1中的. ；变成：二
它们的变换“方向”就“统一”了•
对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量
有变”这是因为在“一次”替代：XI：「厂中，平移是对X进行的.
故先平移（X T •）对后伸缩（' I ）没有影响；
但先收缩（X ）对后平移（T ：・m ）去卩存在着“平移”相
71
% = （Dtp =—屮二色二4 二』关.这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有 ---
的原因.
【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，爲，卩，m对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin （「「）（匸〉0）的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：
（2）横向伸缩：x+工T •:1
（3）纵向伸缩：sin ^ ■）T A sin （一八•）
（4）纵向平移：A sin（；；■：*!；）T A sin （「' ） + m
这正是例1中解法1的顺序.
二、正向变换与逆向变换
如果把由sin X到A sin （iW）+m的变换称作正向变换，那么反过来，由
A sin （一「〔）+m到sin X变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.
因为正向变换的一般顺序是：
（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.
所以逆向变换的一般顺序则是：
（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.
如将函数y 2sin (2 —T ) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2 x—丁)，再将
71 7T
纵坐标缩小一半得y sin(2 x —一；),再将横坐标扩大2倍得y= sin( x—二；),最
7T
后将图象左移-；得函数y= sin x.
兀
【例2】将y = f (x) • cos x的图象向右平移-,再向上平移1,所得的函数为
y=2sin 2x .试求f ( x)的表达式.
【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序
【解析】将y二2sin 2x下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反)，
71 71
得y二2sin2x —1,再将2sin 2x—1左移：(与正向变换右移相反)
>f=2sin )-1 = -COE 2(工+ 为=sm 2^ = 2sm XCOCJ:
得 4 L 4」
令f (x) • cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x
【说明】由此得原函数为y=f (x)cos x=2 sin x cos x=sin2 x.正向变换为sin
2x^2sin 2x,其逆变换为2sin 2x^ sin2 x.
71 JI 7L
因为2sin 2x=1+sin(2 x—二),所以下移1个单位得sin(2 x —-),左移丨得sin2 x.
三、翻折变换使賭>0
平移变换x F ' "是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.
sin( —x + —)
强调一下，这里x的系数是+1.千万不要误以为「是由sin(- x)左71
移—而得.
其实，x或y的系数变-1，也对应着两种不同的图象变换：由X i - x对应
着关于y轴的对称变换，即沿y轴的翻折变换；由f (x) I - f (x)对应着关于x轴的对称变换，即沿x轴的翻折变换.
【例3】
V = 2sin(-3r-F —)
求函数’二的单调减区间.
【分析】先变换-3 xi 3x,即沿y轴的翻折变换.
【解析1】v= / (x) = 2sm(—3x + —) = -2smC 3x ——) —
，转化为求g(x)=sin(3 x—)
的增区间
7T _ 7T 71
-—3^ ———
.< W 二
令
71
--< x (f (x)减区间主解)
2n
又函数的f (x)周期为-；,故函数f (x)减区间的通解为
2An 7L 7T
-x < 一十1
r y=2sm(—3x + —)=—2sinC3x ——)
【解析2】44的减区间为
T[
■——2R+ —
2
2A JI TH
_兀十it
即是- --< x < 3 4
【说明】从图象变换的角度看问题，比较解析1和解析2可知，求f (x)的减区间,实际上分两步进行:
(1) 先求得f (x)减区间的主解-< x < -
(2) 再利用主解进行横向平移(-的整数倍)即得f(x)减区间的通解.
【思考】本解先将舊“正数化”，使->0是本解成功的关键.否则，如果
去解不等式组
将会使你陷入歧途，不防试试!。