中国传媒大学
2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷）
及参考解答与评分标准
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷
命题教师：
一. 填空题（将正确答案填在横线上。
本大题共3小题，每小题3分，总计
9分 ）
1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。
2、设
)20()
1tan(cos ln π
<<⎩⎨⎧+==t e y t x t
，确定函数
)
(x y y =，则
=dx
dy
)1(sec cot 2t t e t e +-。
3、=++⎰5
22x x dx
C x ++21
arctan 21。
二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括
号中。
本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、，则，若设0)(lim 1
3
4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )
44()()44()()44()()44).((，．； ，．； ，．； ，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a
答( B )
2、下列结论正确的是（ ）
)(A 初等函数必存在原函数；
)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。
答( D )
3、若⎰-=x e x
e dt t
f dx
d 0)(，则=)(x f
x
x e D e C x B x A 2222)( )()( )(-----
答( A )
三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限0
lim →x x
x
x 3sin arcsin -。
解
：
lim
→x =
-x
x
x 3sin arcsin 0
lim
→x 3
arcsin x x
x -
（3分）
lim
→=x
31112
2
=--
x x 0
lim
→x ()
()x
x x
6212
12
3
2---6
1-
=。
（5分） 2、2tan ln x y =,求dx
dy 。
解
:
2sec 212
tan 1
2x
x y ⋅⋅=
' （3分）
x
x x x csc sin 1
2
cos
2sin 21==⋅=。
（5分）
四. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、设 .0,1,01
)(⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=x x x
e x
f x
， 求)0(f '。
解：0
)
0()(lim )0(0--='→x f x f f x
（3分）
=--=--→→lim lim []
x x x x e x x e x x 0021
110
0 （5分）
2
1
21lim 0=
-=→x e x x 。
（8分）
2、证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）。
证：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续。
（2分）
又0
)0(>=b f ，
]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。
（4分）
若0
)(=+b a f ，则结论成立。
（6分）
若
)(<+b a f ，则由零点定理
0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得。
总之，方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根。
（8分）
3、证明不等式：当2
0π
<<x 时，x x x 2tan sin >+。
证：令x
x x x f 2tan sin )(-+=，
（2分）
2sec cos )(2
-+='x x x f ，
)1sec 2(sin sec tan 2sin )(3
2-=+-=''x x x x x x f 。
显然，当
2
0π
<
<x 时，
)(>''x f 。
（5分）
)(x f '∴在)2,0(π
内单调增加。
又0)0(='f ，
)(x f '∴在)2
,0(π
内大于零。
)(x f ∴在)2,0(π
内单调增加。
而)0(f =0， )(x f ∴在
)2
,0(π
内恒大于零。
（7分） 即当2
0π
<<x 时，02tan sin )(>-+=x x x x f ，
即.
2tan sin x x x >+。
（8分）
五. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3
π
=x 处取得极值？它是
极大值还是极小值？并求出此极值。
解：x x a x f 2cos 32
cos )(+='，令0)(='x f ，则
02cos 3
2cos =+x x a ， 即x x a cos /2cos 3
2
-=。
3
π
=
x 时)(x f 取得极值。
3
2
3cos /32cos 32=-=∴ππa ，
（4分）
x x x x a x f 2sin 3
4
sin 322sin 34sin )(--=--=''，
033
2sin 343sin 32)3(<-=--=''πππf ，
（6分） )(x f ∴在3
π
=
x 处取得极大值，其值为
2
3。
（8分）
2、求不定积分x x
x
x d cos 12sin sin 2⎰++。
解：⎰⎰⎰+-++-=++x
x
d x x d dx x x x 222
2cos 1cos cos 1cos cos 12sin sin （5分）
()C
x x ++--=2
cos 1ln )arctan(cos 。
（8分）
3、计算积分⎰--++212
12
8
])1(ln 1
sin [
dx x x x 。
解：
⎰
--++212
128])1(ln 1
sin [dx x x x dx x ⎰--+=212
1)1ln(0
（4分）
dx
x dx x ⎰⎰---=-210
21)1ln()1ln(
（6分）
2
1ln 23ln 23+=。
（8分）
六. 解答下列各题 （本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分dx x x x ⎰+--6
55
22。
解
：
⎰⎰+-+-=+--65)
65(6552222x x x x d dx x x x
（3分）
C
x x ++-=)65ln(2。
（6分）
2、计算积分．⎰1
0arctan xdx 解：．
⎰1
arctan xdx ⎰+-=1
02
1
1arctan dx x x
x x
（4分）
=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥π
4121201
ln()x =
-π
41
2
2ln 。
（6分）
3、求曲线 dt t y x
⎰-=2
cos π （2
2
π
π
≤
≤-
x ）的长度。
解： '=y x cos ,
⎰⎰
--+='+=22
2
2
cos 112
π
πππdx x dx y S
（3分） 42sin 242cos 222
2
===⎰π
π
x dx x 。
（6分）
4、求微分方程x
e x y y 525-+='+''的一个特解。
解
：
特
征
方
程
52=+r r 的
根
为
r r 1205
==-,。
（2分）
故设特解为y x Ax B Cxe p x
=++-()5，
（4分） 代入方程得y x x xe p x =---1
25
52525()。
（6分）。