2007年爲务紅兮菴赛培训班线面积分练习题参考解答2006.5.13一•填空题（每小题3分，共15分）1 •设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2+ 3x 2+ 4y 2心=巾 2xy 2ds + 血（3x 2+ 4y 2）dy =0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2•设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS =JA /3 ・L解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41SJI 2As = 1 2Q •<4加iX+ M +》|)dS 二胡 dS二制x 2+(y+l)2<2Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再・1・1 =扌屁%丫2 + / + 2 二 R 23 •密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十〜—K 对于兀轴的转动惯量x+尹十z=04 =細）尿・解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣=扌“（）兀7?'・4 •设厶：宀（卩+ 1）2二2xdy-ydx x 2十尹2 +2尹十3-7T5.设X:z = -y]l-x 2-y 2,贝!j / = jj x 2dydz + cos ydzdx + zdxdy =3 71解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2dxdy =i^-评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有0, 若伪x的偶函数，⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数.L刀半③也可利用轮换对称性。
二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内）1 •设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于(A)l・(B) 0・(C) 21. (D)|.(::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀• F dx = 0 + * = £ 2.设S:x2+/+z2=l 解:(沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有(A) 口xdS = 4JJ xdS ・(B) jj ydS = 4 jj xdS ・S S] S S](C) JJ zdS = 4jj xdS ・(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ・答：(C )S S\ S S\解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对•事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上S S|的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS・S S] S]3•设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A） x2dS,^j* x2dvdz ・（B）前xdS,曲Xdpdz ・E2•外z（C）前xdS,曲xdydz ・（D）前xydS,前ydzdx・答：（B ）解：因为2'关于x = 0 （即yOz 平面）对称，x 和卩是x 的奇函数，而F 是x 的xydS = 09 x 2dS = 2[Jf x 2dS =；£ 乞半而第二类曲面积分xdydz = 2 xdydz = 2 jj yjR 2-y 2-z 2dydz =,/ 第 y 2+z 2<R 2有前 ydzdx = 2 前 ydzdx -4•设曲线厶:/（x,^） = l （/（x,y ）具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和 第IV 象限的点N,厂为厶上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分少于零的是(A) J 厂/Cr,y)d¥ ・(C) J 厂/(x 』)d5・(B) \r f(x,y)Ay ・(D) J 厂./；(s)dr + /：(x 』)dp ・ 答：(B)解：J 厂/(x,，)& = ]*厂& = J dx 〉0,不选(A)；J./(兀J )dy =(厂dp = J dx<0,选(B)； J 厂 f(x,y)d5 = J 厂ch > 0,不选(C)；J 厂 /：(x ，y)^ + f ；(x, y)dy = J 厂 df(x,y) = J ： df(x 9 y) = = 1-1 =0, 不选(D)・5 •设 Z :z = x 2+ y 2(z < 1), D xv :x 2+ y 2< \ ,则 jj zdydz 可化为二重积分 (B) jj(x 2+y 2) (-2x)dxdy ・%，偶函数，故第一类曲面积分皿(A) || (x 2+ 尸)• 2xdxdy ・(C) ^(x 2+y 2)-2ydxdy.5(D) jj(x 2+y 2)-(Lrdy.因为⑪血二cosodS二空陞dx® （—般地有业二气 =3屯），而“cosy " cos a cos p cosy 解：X:z = x2 +y2 (z < 1)的外侧即下侧，故dydz = -z^dxdy = -2xdxdy 9所以JJ zdydz = -jj (x2 +y2)- (-2x)dxdy = JJ (x2 + 才)• 2xdxdy ・三. （本题 6 分）计算/ = [jj/ -z 2）dx + （2z 2 -x 2）dj ； + （3x 2 -y 2）dz ,其中厶是平 面x + y + z = 2与柱面|x| + |y| = l 的交线，从z 轴正向看去，厶为逆时针方向.解：设》为平面x + j ； + z = 2上由厶所围成部分的上侧，久是》在xQy 面上的投影域，则》的法向量的方向余弦为COSQ 二COS0二cosy 二洽, D xy : |x| +1_y| < 1, 27 的曲面面积元素dS = y/3dxdy.由 Stokes 公式，得 左/ (y 2- z? )dx + (2z 2- x 2)dy + (3x 2- y 2)dz£ ds 二 + J](-8x -4y-6z)dSz V 3三学口 (4x + 2p + 3z)dS 二乎JJ (兀一尹 + 6)>/3dxdj ； "3 z "3 J =-2 0 + 0 + j]6drdy =-12-(A /2)2 =-24. 另解：将其化为平面曲线积分.记厶在面上的投影曲线为C,则C:x + y=l,取逆时针方向，C 所域记为2*•因为z-2-x-y , dz = -dx-dy ,故原积分可化为见[一4兀$ + 牡 + 4尹 一 2xy + j/2]dx + [-2x 2 -Sx-Sy- +4.ry + 3j^2 ]dy恪林公式=Jj(-2x + 2j/-12)cLrdy = 0 + 0-12jjdxdy = -24. S ・ D巧四. （本题6分）求密度为“°的均匀半球壳Z:z = ylR 2-x 2-y 2对于z 轴的转动 惯量.2 2y-zd_2Z 2-X 2I=\^[y 2-(2-x-y)2]dx + [2(2-x-y)2-x 2]iy- (3x 2- y 2)dx - (3x 2- y 2)dy解：/严口（工+尸）角辽二“。
口（宀小，勒严厶 _ 厂 _三x2+y2<R2dR五. (本题6分)计算£(x 2+/+z 2)dy,其中厶是球面x 2+/+z 2=|与平面y + z = l 的交线.2 H)2解：方法一 因为厶的方程可表示为 牙+r^=l,则其参量方程为 z = l-yx = 2cos &v y 二 * + 血 sin & （0<0< 2兀）・ 乙z = 土-V^sin&(0,1-72,1 + 72),易知M 就是厶的一条直径，于是d = \AB\ = 4.所以 £(x 2+b +z 2)d5 =-|-£d5 =号吐=号兀・4=18兀・六. (本题6分)计算积分7 = £ (^/sin y - x)dy + ydx ,其中厶是依次联结点/(-1,0)、5(2,2)和C(l,0)的有向折线段.解：直接计算较繁•添加直线段石，构成闭合曲线厶+ G4,使用格林公式•记L + CA 所围域为D.R 2二細。
兀/?4・ o n故1(* +尸+尹炒=(訓諾J : J/⑹+产⑹+芒(0)d& =訂；2d& = 18兀. 方法二JX+b+z沁=［知岁片2 / 2 = 2 ?"2显然是平面p + z = 1上的圆周，为求周长只需求出其直径 y + z = 1 〃即可.在厶的方程中令x = 0得圆周上的两点：A9 一2沁二尹5表示厶的弧长人而厶: (0冷+血,寺一血),和=2//07i/?~-（/?2 -ty=/Z 7C Txzdydz + 2zydzdx + 3xydxdyJJJ(z + 2z + 0)dr- - H 3xydxdy \z+s s 丿= -JJ(-2)cLvdy-'D七. (本题6分)设对于半空间兀＞0内任意的简单光滑有向闭合曲面27,都有 gxj\x)AyAz 一 yf(x)dzdx 一 xze 2xdxdy = 0 ,其中/(兀)有连续导数,且lim /(x) = 1,求/(兀)・XT 0+ *解：设》所围成的有界闭域为0,由题设及Gauss 公式得由 lim f(x) = 1 得 C 马，故 f(x) =・八・(本题6分)计算曲面积分/ = JJ xzdydz + 2zydzdx + ixydxdy ,其中27是曲面Sz = l-x 2-^- (OSzSl)的上狈 U ・解：取S 为xOy 平面上由椭圆工+才=1所围部分的下侧，由2•和S 所围空间 区域记为绘•由Gauss 公式，得P = y,Q = ^-x 9 等埒0dx = 2(l-2-2)= 4.JJ x/'(x)dydz 一 (x)dzdx 一 xze 2 Vdxdv Q= ±\\\[xf(x)-xe 2x^V ・Q由》的任意性，知xfXx)-xe 2x= 0 ,即 f(x) = e 2x,解得/(%) = *e?"+C ・jj d (7 - 0 = 3£ 2TC ( 1 - z)zdz =兀.宀F —=3zdzJo匕二比+ ©Zll 在兀0尹平面之上的部分的上侧.____ Z _____ R = ______ £ _____M+b+z 学'(x 2+/+z 2)^ ' 除点0(0, o, o)外，券譽，譽处处连续，且薯+罟+瞥0.》为顶点在(2, 1, 10)的椭圆锥面的一部分，它在xOy 面上的投影域为心52 42采用《挖洞法庆设£>0充分小，取S 一为S: z = ^E 2-x 2-y 2之下侧，又取 为平面域2, \{(x,刃卜2 +尹2 Vg2}之下侧，于是刀 + S + Z ；构成一封闭曲面，记 其所围成的空间域为Q ・由Gauss 公式得・/_( 社 jj jj xdydz + ydzdx + zdxdyT+Zf+S- Zf S'X 2+尹2 +z=0 + 0 + A JJ xdydz + ydzdx + zdxdye s +JJJ 3dxdydz _ 0x 2+y 2^z 2^e 2zSO十.(本题 6 分)计算积分 JJrotF dS,其中 F = (x-z)i + (x 3+ yz)j-3xy 2k , X九.(本题8分)计算曲面积分/二JJZxdydz + ydzdx + zdxdy少，其中》是曲面 解：p疋+卄2)%=出0现吨+ (口+ $) ◎血+陆血+Q 斗 s 七E是锥面z = 2-后+y2在兀0,面上方的部分，取上侧.x +，_4,取逆时针方向•故由Stokes公z = 0解：设y的边界曲线为厂，则厂:式得JJ rotF • dS恪栋公式J]厂F ds 二左厂(x-0)dx + (x3 - 0)4y-0 = [J xdx + x3dy jj 3x2dxdy = 3j；cos2&d&J：/?\i/? = 3•兀•乎=12兀.x2+y2<4厂(x - z)dr + (x3 - yz)dy - 3xy2dz十一・(本题 6 分)设27:x" + + z** -2ax-2ay-2az + 2a 2= 0 (°>0),求/ =前(x +尹+ z)d5z 解：方法一(直接计算)因为W ：(X-Q )2+b-Q )2+(z — Q )2=/,故由轮换 对称性得 / 二 3曲 zd5 二 3前(z - a)dS + 曲 3adS = 0 + 3° • 4加=12^3 ・X X Z方法二(利用形心坐标公式)显然Z:(x-^)2+(y-f/)2+(z-^)2=t72的形 ___ _ \S xdS 血沁心坐标为(兀,y,z) = (G ,Q ,Q ),于是Q = X = —=~—，由此得前xdS = 4na 3 ； 同理有[ff ydS = 47073, [ff zdS = 4ita 3；故 I = \2na\ 十二（本题6分）计算曲线积分上+（才+z 2）dx + （z 2 +x 2）dy + （x 2+b ）dz,其中厂为曲线F [ +尸+厂=2&° v 。