x
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
连续条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
y
2
F
6
（4）确定积分常数 由边界条件
x
x 0 qA 0 wA 0
A x
EIz
B
wB
代入上面两式
qB
1 Fl2 C 0 1Fl3 D0
2
6
l
C 1 Fl2 D 1 Fl 3
2
6
（5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程
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工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程 2、挠曲线近似微分方程 纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
1 M
EIz
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的 高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。 但此时弯矩不再为常数。
1 M (x)
(x) EIz
2021年3月13日星期六
§6-1、工程中的弯曲变形问题
工程中的弯曲变形问题
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
d2y
dx 2 < 0
x
dx
O
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工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
截面的挠度w 即为 y
所以
d 2w
1
dx2
M (x)
[1 ( dw)2 ]3 EIz
称为挠曲线的微分方程
dx
略去高阶小量，得
1
d 2w dx2
M (x) EI z
所以挠曲线的近似微分方程为：
d 2w dx2
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程）
w f1(x)
转角方程
q f2(x)
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工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形
y
q
C’
A
C
x
B’
q
wB
w
B
x
挠度和转角的正负号规定
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
F
w |x1a w |x20
A
B
q |x1a q |x20
l
a
b
x1 x2
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工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形 例6-3-1
如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 w B 。
F
A x
EIz l
B
wB
qB
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工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
y
A x
F
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
x
M (x)F(xl)
B
wB
EIz
qB （2）挠曲线近似微分方程
E w IM (x ) F (x l)
l
（3）积分
q E IE w IF (x l)d x C 1 2 F (x l)2 C
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
由数学知识可知： d 2 y
y
1
dx2
M (x) > 0
M (x) > 0
[1 ( dy )2 ]3
dx
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的 O
d2y dx 2 > 0
x
符号与挠曲线的二阶导数符号一致
y
d2y
M (x) < 0
M (x) < 0
1
dx2
[1 ( dy )2 ]3
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工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 钻床的立柱和摇臂
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 叠板弹簧
工程力学弯曲变形
2021年3月13日星期六 常州大学机械学院力学教研室
§6-2、挠曲线的微分方程
挠曲线的微分方程
2021年3月13日星期六
M (x) EI z
由上式进行积分，就可以工求程出力学梁弯曲横变截形 面的转角和挠度。
2021年3月13日星期六 常州大学机械学院力学教研室
§6-3、用积分法求弯曲变形
用积分法求弯曲变形
பைடு நூலகம்
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 w M (x) EI z
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变
成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
y
q
B’
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度
C’
q
wB
w
某截面的法线方向与x轴
A
C
B
x
x 的夹角称为该截面的转角
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）
EIzq EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确
定其大小。
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形
挠度和转角的关系
y
q
C’
A
C
x
B’
q
wB
w
B
x
w d y tanq
dx
在小变形假设条件下
taqnq
w dy tanq q
dx
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
E w I1 F (x l)2 d x C x D 1 F (x l) 3 C D x
2
6
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
q E IE w IF (x l)d x C 1 F (x l)2 C
E w I1 F (x l) 2 d x C x D 2 1 F (x l) 3 C D x
§6-3、用积分法求弯曲变形
边界条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在约束处的转角或挠度可以确定
F
A
B
x 0 w |x0 0 q |x0 0
l x
F
x 0 w |x0 0 q |x0 0
A
B
l
x l w |xl 0 q |xl 0