（ 1 ） 分 离 变 量 ： d f ( x ) d y ( g ( y ) 0 ) x ； g ( y )
（ 2 ） 两 边 积 分 ： g d ( y ) f y ( x ) d ； x
（ 3 ） 求 出 积 分 ， 得 通 解 ： G ( y ) F ( x ) C ， 其 中 G ( y )F ( , x ) 分 别 是 1 ,f ( x ) 的 原 函 数 。 g ( y )
u2 v2
，
代回变量ux3，vy2，得
原 方 程 的 通 解 e ar x y 2 3 c C ( x t 3 a ) 2 ( y n 2 ) 2 。
再见
例
2.解方程
ytanx y3 y( )0 2
.，4 2 21．齐次微分方程的一般形式：
若 当 t 0 时 ， 有 f ( t , t ) f ( x , y ) x y ① 则 称 方 程 d f ( x , y ) 为 y 齐 次 方 程 。
dx
在 ① 中 令 t 1 ， 得 f ( x , y ) f ( 1 , y ) ( y ) ， 故
5 .
称 附 加 条 件 y(x )y,y(x )y1 ,y(x )y2, ,y(n 1 )(x )yn 1 为 n 阶 微 分 方 程 F (x ,y,y,y, ,y(n )) 0的 初 始 条 件 。 称 问 题 y F ( x ( x ) , y y , ,y y , ( y x ,) , y 1 y , ( n ) ) , 0 y , ( n 1 ) ( x ) y n 1 . 为 初 值 问 题 。 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 称 为 特 解 。
即 d a b ( u u ) ， 这 f 是 可 分 离 变 量 方 程 。 dx
例 4．求方程 ysin(x y) 的通解。
4 ． y f ( a a 2 1 x x b b 1 2 y y c c 1 2 ) a 1 b 2 ( b 1 a 2 ) 型 的 方 程
例 5．解微分方程 y x y5 x y1
中 含 有 两 个 或 三 个 任 意 常 数 ， 则 需 求 二 阶 或 三 阶 导 数 。
§ 4 . 2 一 阶 微 分 方 程
一 阶 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为 F ( x , y , y ) 0
4 2 1
可 分 离 变 量 方 程 的 一 般 形 式 为 d f ( x y ) g ( y ) ① dx
x2 y xy4 y3x4 。
4 . 微 分 方 程 的 解
能 使 微 分 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 称 为 微 分 方 程 的 解 。 若 该 函 数 是 显 式 的 ， 则 称 为 显 式 解 ； 若 是 隐 式 的 ， 则 称 为 隐 式 解 。
若 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 ， 而 且 独 立 的 任 意 常 数 的 个 数 与 方 程 的 阶 数 相 等 ， 则 称 这 个 解 为 微 分 方 程 的 通 解 。
解 析 几 x 何 u 中 3 坐 标 y 平 v 移 2 的 思 路 可 解 决 这 个 问 题 。
d d ， d d 。 x u y v
原 微 分 方 程 就 可 化 为 齐 次 方 程 型 d d u u u v v 1 1 u v v ， u
arctanv
可得 e
u C
2 .
微 分 方 程 中 所 含 未 知 函 数 的 导 数 的 最 高 阶 数 称 为 微 分 方 程 的 阶 。 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 为 n 的 微 分 方 程 称 为 n 阶 微 分 方 程 。
例3 . 如n ： ddxy xy0 ；
F (x x,ddxy 22y,y xy,2y s,iy nx,； y (n )) 0 .
x
x x
齐 次 方 程 的 形 式 为 d ( y ) y dx x
②
2 ． 齐 次 微 分 方 程 的 解 法
在 d ( y ) 中 ， 令 y u y ， 则 y x ， d u x d ， u y d x x x d d x
代 入 原 方 程 得 : u x d ( u ) ， u dx
例 2．验证函数 yC1coskxC2sinkx ①
是 微 分 方 程 d d 2 2 y k 2 x y 0 ( k 0 )
②
的 通 解 ， 并 求 方 程 ② 满 足 初 始 条 件 y x 0 A ，
d d x 0 x y 0 的 特 解 。
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
即 x d ( u ) u u ， 为 可 分 离 变 量 方 程 。 dx
例 3．求方程 y2dx( x2 xy)dy0 的通解。
3 ． y f ( a b ) 型 的 方 程 x y
令 u a b ， yx 1(uy ax) y 1(ua)
b
b
代 入 原 方 程 得 ： u a b ( u ) ， f
（ 4 ） 若 方 程 给 出 初 始 条 件 ， 则 根 据 初 始 条 件 确 定
常 C ， 得 方 程 的 数 特 解 。 （ 5 ） 若 有 g ( y ) 0 ， 把 y y 代 入 ① 式 可 知 ， y y 也
是 ① 的 一 个 解 ， 则 此 解 称 为 常 数 解 。
例1．求微分方程 y1xy2x2y的通解。
解 ： 令 x u h ， y v k ，
分 析 ： 则 这 x 个 方 y 程 5 不 u 是 h 齐 次 v 方 k 程 5 ， ， 它 与 齐 次 方 程 的 差 别 x y 1 u h v k 1
在 一 于 种 令 分 变 子 换 h h 与 ， k k 分 使 1 5 母 新 0 0 多 的 了 表 k h 常 达 数 式 3 2 项 中 。 ， 不 为 出 了 现 消 常 去 数 常 项 数 ， 项 借 ， 用 通 平 过 面
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
注 ： 这 类 问 题 的 解 法 是 先 求 导 ， 再 消 去 任 意 常 数 ， 若 通 解