0 n2 n1 Roc : 0 z
0 n1 n2 n1 n2 0
0 n n 0 Roc : 0 z 0 n 0 n Roc : 0 z
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2 右边序列
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
n1 0
0
包括z 处
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因果序列
Rx z
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
0
包括z 处
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3 左边序列
n n2 0 x(n) x ( n ) n n2
其z变换：X ( z )
1 ln z T

X s ( s)
X ( z)
X ( z)
ze
sT
X s ( s)
z e sT
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将s表示成直角坐标形式，而将z表示成极坐标 形式，即
s j z re
j
re
j
e
( j )T
e e
T
jT
re
T
T
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以上两式表明s~z平面有如下映射关系： (1) s平面上的虚轴映射到z平面是单位圆, 其右半平面映射到z平面是单位圆的圆外, 其左半平面映射到z平面是单位圆的圆内. (2) s平面的实轴映射到z平面是正实轴 (3) s平面与z平面的映射关系不是单值的
dX ( z ) nx(n) z dz Rx 1 z Rx 2
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2.3.5初值定理 因果序列
x(0) lim X ( z )
z
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2.3.6 终值定理 因果序列
n
lim x(n) lim ( z 1) X ( z )
z 1
N ( z ) b0 b1 z br 1 z br z X ( z) k 1 k D( z ) a0 a1 z a k 1 z a k z
r 1
r
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当分子多项式的阶次小于分母多项式阶次，变 换是一种线性变换。可以把它分解成许多常见的 部分分式之和 . 如果X(z)只含有一阶极点，则可以展开成
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2.3.7时域卷积定理
如果
X ( z ) x ( n) H ( z ) h( n) Rx 1 z Rx 2 R h 1 z Rh 2
则


x(n) h(n) X ( z)H ( z)
max Rx 1 , Rh 1 z min Rx 2 , Rh 2
X ( z)
z e j
X (e )
1 2 j
j
n
x ( n )e

jn
x ( n)

c
X ( z ) z n 1 dz
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如果上式中积分围线选择为单位圆，那么
1 x ( n) 2
X (e


j
)e
jn
d
X (e j ) x( n) e jn n x( n) 1 X (e j )e jn d 2


n
x(nT ) ( t nT )

将上式两边取拉氏变换得
X s ( s) x s (t )e st dt

n
x(nT ) e nsT

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X s ( s)
s
1 ln z T

n s
x(nT ) z n X ( z )
1 m k x ( n m) u ( n ) z X ( z ) x ( k ) z k m
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2.3.3序列指数加权
a n x(n) X ( a 1 z)


Rx 1 a 1 z Rx 2
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2.3.4序列线性加权
m 1
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x(n m) z m X ( z )
2.3
2.3.1线性 2.3.2位移特性 1 双边Z变换
Z变换性质
x(n m) z X ( z)
m
x(n m) z X ( z)
m
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2单边Z变换
m 1 m k x ( n m) u ( n ) z X ( z ) x ( k ) z k 0
x ( n)
1 n 1 c X ( z) z dz 2j
2.2 z反变换
2.2.1留数法 如果
X ( z)
n


x (n) z n
则X(Z)的反变换为
1 x ( n) 2j
X ( z ) z n 1 dz
c
c ( R1 , R2 )
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积分路径是一条在X(z)收敛域内，逆时针方向绕 原点一周的单围线
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2.5差分方程的z域解法
线性时不变系统可以用常系数线性差分方程 来描述，即
y ( n) b j x ( n j ) a i y ( n i )
j0 i 1
M
N
i0
a y (n i ) b x(n j )
i j0 j
N
M
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上式两边取单边z变换得
其z变换：X ( z )
n
x (n ) z
1
n
x (n ) z
n 0

n
当Rx Rx 时，Roc : 当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
0
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总之，对连续信号可以采用拉氏变换、傅里 叶变换对它进行分析。傅里叶变换是虚轴上的拉 氏变换，反映信号频谱。对于离散信号(序列)， 相应可采用z变换及序列傅里叶变换分析。序列傅 里叶变换是单位圆上的z变换，反映的是序列频 谱 。理想抽样沟通了连续信号拉氏变换、傅里叶 变换与抽样后序列z变换以及序列傅里叶变换之间 的关系。
x(n) Res X ( z ) z n 1 , bk Res X ( z ) z n 1 ,
k




或
x(n) Res X ( z ) z n 1 , a k
k


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如果
z k 为单极点，根据留数定理得
Res X ( z ) z n 1 , z k ( z z k ) X ( z ) z n 1
第二章 离散时间信号与系统的 Z域分析和频域分析
2.1 Z变换的定义及收敛域
z
• 2.1.1 Z变换定义 • 序列x(n)的z变换定义为：
X ( z)
n


x (n) z n
Z变换是傅里叶变换的推广， 傅里叶变换是Z变换的特例——单位圆上的变换。
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2.1.2 z变换的收敛域 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛 的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的 充要条件是满足绝对可和
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2.3.8 Z域卷积定理
1 z 1 x ( n ) y ( n) c 1 X ( )Y d 2 j 1 z 1 c 2 X Y ( ) d 2 j
Rx1 R y1 z Rx2 R y2
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如果已知信号的拉氏变换，可对其求拉氏反 变换，再取样后求其Z变换可得
j 1 n snT X ( z) j X ( s ) e ds z n 0 2 j j 1 X ( s ) e snT z n ds 2 j j n0
1 ai z Y ( z ) y (l ) z l 0 i l i N i

1 m 0b j z X ( z) m jx(m) z j M j
j 1 m j 0b j z X ( z) 0 b j z m jx(m) z j j Y ( z) N N i ai z a i z i
x ( n ) n n1 x(n ) n n1 0
其Z变换：X ( z )
前式Roc: 0 z
n n1
x ( n ) z n x (n ) z n
n 0
1

后式Roc: Rx z
当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
z zm
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x(n) A0 (n)
m 1
A
k
m
( z m ) n u ( n 1)
对应不同收敛域分别有
x(n) A0 (n)
m 1 k
Am ( z m ) n u (n)
k
x(n) A0 (n) Am ( z m ) n u ( n 1)

X ( s) j 1 e sT z 1 ds 2 j
1
j
X ( s) Res , sk sT 1 1 e z k
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2.4.2 z变换与序列傅里叶变换关系 由s平面与z平面映射关系知道：s平面虚轴映 射到z平面单位圆上，而s平面虚轴上的拉氏变换 就是傅里叶变换。因此，单位圆上的z变换即为序 列的傅里叶变换。