热学习题答案第四章：热力学第一定律(容对应参考书的第五章)1. （P 192。

1）0.020Kg 的氦气温度由17C ︒升为27C ︒。

若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体能的改变，吸收的热量，外界对气体所做的功。

设氦气可看作理想气体，且R C m v 23,=。

解：已知=︒=C T 171290K ，K C T 300272=︒=，()mol molKg KgM5/104020.03=⨯==-μν（1）体积保持不变：外界对气体做功0=A ，能的变化()()()cal R R T T C U m v 1507529030023512,≈=-⨯=-=∆ν，根据热力学第一定律，由0=A 有系统吸收热量()cal R U Q 15075≈=∆= （或者=623.55J ）；（2）压强保持不变：由P ＝常数，及理想气体状态方程RT PV ν=有 外界对气体做功()()()cal R T T R V V P PdV A V V 10050212121-≈-=-=-=-=⎰ν，能的变化()()cal R T T C U m v 1507512,≈=-=∆ν， 由热力学第一定律，得系统吸收热量：()cal R A U Q 250125≈=-∆=；此问也可以先求A 和()12T T C Q P -=，而后再由第一定律得Q A U +=∆。

（3）不与外界交换热量：由于理想气体能的变化只由温度决定，则 能的变化仍然是()()cal R T T C U m v 1507512,≈=-=∆ν，但由0=Q ，根据热力学第一定律知此时外界对系统所做的功完全转化为系统能的增加量，即外界对气体做功()()cal R T T C U A m v 1507512,≈=-=∆=ν。

注意：此题很简单，目的在于理解理想气体能无论在什么样的准静态过程下都只由温度决定。

2. （P 192。

2）分别通过下列过程把标准状态下的0.014Kg 氮气压缩为原体积的一半：（1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程。

试分别求出在这些过程中气体能的改变，传递的热量和外界对气体所做的功。

设氮气可看作理想气体，且R C m v 25,=。

解：由已知有 ()mol molKg KgM5.0/1028014.03=⨯==-μν，K T 2731=，a p p 5110013.1⨯=， 11212p RT V V ν==，57,,,,=+==mV m V mV m P C R C C C γ （1）等温过程：由已知，氮气看做理想气体，故能变化量0=∆U ，由热力学第一定律，有A Q -=，而外界对气体所做的功为()J V V RT V dVRT PdV A V V V V 7862ln 15.273314.85.0ln 212121≈⨯⨯⨯==-=-=⎰⎰νν； （2）绝热过程：传递的热量0=Q ，绝热过程外界对气体所做的功为()112211V p V p A --=γ，由绝热过程方程有 γγ1122V p V p =，即 γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112VV p p ()()()J RT A 9071214.115.273314.85.0122114.11≈--⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴-γγν （3）等压过程：维持1p 不变，则 211212T V V T T ==能的变化量为 ()()J R T T C U m v 1419215.273255.012,-≈⨯⨯-=-=∆ν，而又由 R C m p 27,= 可得气体吸收的热量为()()J R T T C Q m P 1987215.273275.012,-≈⨯⨯-=-=ν根据热力学第一定律，有外界对气体所做的功为()J Q U A 56819871419=+-=-∆=。

3. （P 193。

8）0.0080Kg 氧气，原来温度为27C ︒，体积为0.41L 。

若：（1）经过绝热膨胀体积增加为4.1L ；（2）先经过等温过程再经过等容过程达到与（1）同样的终态。

试分别计算在以上两种过程中外界对气体所做的功。

设氧气可以看作理想气体，且R C m v 25,=。

解：已知，()mol mol Kg Kg M41/10320080.03=⨯==-μν，K C T 300271=︒=， L V 41.01=，L V 1.42=，57,,,,=+==mV m V mV m P C R C C C γ （1）绝热膨胀过程：满足绝热过程方程 c TV =-1γ，由题意可知122111--=γγV T V T ， 即()K V V T T 49.1191.441.015.30015712112≈⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--γ，则外界对系统做功()()()()J T T R V P V P A 75.93815.30049.1194314.825111121122-=-⋅=--=--=γνγ； （2）等温过程：外界对系统做功()J V V RT V dV RT PdV A V V V V 49.143641.01.4ln 15.3004314.8ln 12112121-≈⨯⨯=-=-=-=⎰⎰νν， 由题意，再经过等容过程使温度由1T 降至2T ，因为在等容过程中外界对系统不做功，故整个过程中外界对系统做功为()J A 49.1436-≈。

4. （P 194。

16）设一摩尔固体的状态方程可写作bp aT v v ++=0；能可表示为apT cT u -=，其中a 、b 、c 和0v 均是常数。

试求：（1）摩尔焓的表达式； （2）摩尔热容量m P C ,和m v C ,。

解：（1）由题意，摩尔焓可表示为()200bp pv cT bp aT v p apT cT pv u h ++=+++-=+=；（2）由（1），有c T h C P m P =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,，ap c T u C vm v -=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,，且由已知有()aT v v bp --=01，则()T b a v v b a c C m v 20,2+--=（最终用题目给的常数来表述）。

5. （P 196。

23）瓶盛有气体，一横截面为A 的玻璃管通过瓶塞插入瓶。

玻璃管放有一质量为m 的光滑金属小球（像个活塞）。

设小球在平衡位置时，气体的体积为V ，压强为AmgP P m +=0(0P 为大气压强)。

现将小球稍向下移，然后放手，则小球将以周期T 在平衡位置附近作简谐振动。

假定在小球上下振动的过程中，瓶气体进行的过程可看作准静态绝热过程，试证明： （1）使小球进行简谐振动的准弹性力为y VA P F m 2γ-=，这里VPC C =γ，y 为小球偏离平衡位置的位移。

（2）小球进行简谐振动周期为22A P mVT m γπ=。

（3）由此说明如何利用这现象测定γ。

解：（1）设任意位移y 处对应的瓶气体的压强为P ，小球受外力为F ，对小球进行受力分析可知mg A P PA F --=0，由准静态绝热过程，满足过程方程c PV =γ，对于平衡位置和偏离平衡位置的两种状态，由题意有()γγγγ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=y V A PV Ay V P V P m 1故若将y 视为无穷小量时，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-y V A P y V A P P m m γγ11则有小球做简谐振动的准弹性力y V A P mg A P y V A A P F m m 201γγ-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，得证；（2）由（1）知小球做简谐振动的势能为222y VA P y d F V m yγ=⋅-=⎰可以求出k V A P dy Vd m ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222γ，则可得小球简谐振动的周期 222AP mVk m T m γππ==，得证。

（3）可以根据本题设计一个实验，实验中m 、V 、m P 、A 都为已知的不变的量，因而可以通过测量小球振动的周期来测量γ值：2224TPA mVπγ=。

6. （P 198。

28）如图所示为一理想气体（γ已知）所经历的循环过程，其中CA 为绝热过程，A 点的状态参量()11,V T 和B 点的状态参量()21,V T 均为已知。

（1）气体在B A →,C B →两过程中分别与外界交换热量吗？是放热还是吸热？（2）求C 点的状态参量； （3）这个循环是不是卡诺循环； （4）求这个循环的效率。

解：（1）由题意分别讨论各过程：B A →：等温膨胀过程，气体从外界吸热AB Q ；C B →：等容降压过程，气体向外界放热'BCQ ； A C →：绝热压缩过程，能增加，外界对气体做功。

（2）令C 点的状态参量为()22,V T ，由绝热方程122111--=γγV T V T ，有12112-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γVV T T ；（3）该循环不是卡诺循环；（4）该循环在高温热源1T 和低温热源2T 间工作，则 在1T 处吸热 121ln V V RT Q AB ν= 在2T 处放热()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=--12111211,21,'111γγγνννV V RT V V T C T T C Q Q m V m V BCBC 可得循环的效率为：()12121'ln 1/1V V V V Q Q Q AB BC AB -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-γηγ。

7. （P 199。

31）如图中ABCD 为一摩尔理想气体氦的循环过程，整个循环由两条等压线和两条等容线组成。

设已知A 点的压强为atm P A 0.2=，体积L V A 0.1=，B 点体积为L V B 0.2=，C 点压强为atm P C 0.1=，求循环效率。

设R C m v 23,=。

解：由题意，分别讨论各个过程：B A →：等压膨胀过程，气体吸热()A B P AB T TC Q -=；C B →：等容降压过程，气体放热()C B V BC BCT T C Q Q -=-='； D C →：等压压缩过程，气体放热()D C P CD CDT T C Q Q -=-='； A D →：等容加压过程，气体吸热()D A P DA T T C Q -=。

由一摩尔理想气体状态方程RT PV =和已知条件有2==A B A B V V T T ，2==D C D C V V T T ，2==C B C B P P T T ，2==DA D A P PT T 其中R R V P T A A A 2==，得R T B 4=，R T C 2=，RT D 1=，则循环效率%4.15132123225125223111''1'2≈=⋅+⋅⋅+⋅-=++-=-=RR R R R R R R Q Q Q Q Q QDAAB CDBC η。