一、选择题1．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n3．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．724．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD7．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º 8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（ ）A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：19．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）A ．23B ．73C ．63D ．53第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案10．边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD 垂直于底面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离为（ ）A ．263B ．23C ．22D ．6 11．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥ 12．下列命题中正确的个数有（ ）个①不共面的四点中，其中任意三点不共线②依次首位相接的四条线段必共面③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面A ．1B ．2C ．3D ．413．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ）A ．103B ．123C ．76或123D ．96或103 14．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（ ）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π二、解答题15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ＝25，AB ＝2，∠BAC ＝60°.（1）求三棱锥A 1－ABC 的表面积；（2）证明：在线段A 1C 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求1A M MC的值. 16．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.17．如图BC ⊥BD ，AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，平面BCD ⊥平面ABD ，E 、F 、G 分别为棱AC 、CD 、AD 中点.（1）证明：EF ⊥平面BCG ；（2）若BC ＝4，且二面角A —BF —D 的正切值为6，求三棱锥G —BEF 体积.（注意：本题用向量法求解不得分）18．如图，在组合体中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，P -ABCD 是一个四棱锥.AB =2，BC =3，点P ∈平面CC 1D 1D 且PD =PC =2（1）证明：PD ⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）若AA 1=a ，当a 为何值时，PC //平面AB 1D .19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.20．如图1，矩形ABCD ，1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM .（1）求证：2MP DM =；（2）求二面角B PE C --的大小；（3）若在棱,PB PE 分别取中点,F G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由. 21．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B MNC -的高.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．24．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求证：平面//EFG 平面PM A ．25．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.26．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB 平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =，1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==， 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.2．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】 设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=.因为22108336x x +≥=，当且仅当x =2y =时等号成立，所以92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,则123a ⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】 如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =， 所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．6．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.7．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥， 因为23AB AD ==ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --， 又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 6COC ∠==，130COC ∠=.故选：A【点睛】 本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.8．B解析：B【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.【详解】圆柱的表面积2213222a S a a a πππ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭； 圆锥的表面积22213224a S a a a πππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，故1221S S =. 故选：B .【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．B解析：B【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算33AO a OC ==，16A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a .连接1,,,OA OB OC AC ，则3AO a OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得163A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =， 则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=.在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离163A O a = 所以1AC 与底面ABC 62333aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为7.故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.10．A解析：A【分析】取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，则DO AC ⊥，BO AC ⊥，由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD CD AB BC ∴====， 则222222AC =+=，()22222DO BO ==-=，由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，则DO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =⨯⨯⨯=△， 则在Rt ABC 中，12222ABC S =⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为d ， 则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=⋅△△， 即：1132233d ⨯=⨯⨯，解得：263d =， 即点C 到平面ABD 的距离为263. 故选：A.【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.11．C解析：C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．12．A解析：A【分析】假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④【详解】①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题13．B解析：B【分析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABC V S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS 中22124SB =+=，在Rt ACS 中121628SC =+=所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B.【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.14．B解析：B【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .∵四棱锥P ABCD -中，32AB =∴3AO '=.∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，∴2223(4)R R =+-，解得258R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.二、解答题15．（1）6+23+26；（2）证明见解析；13. 【分析】（1）可先证明1A B ⊂平面1A AB 得出1BC A B ⊥，即可求出三棱锥A 1－ABC 各个面的面积，得出表面积；（2）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，即可得出.【详解】（1）2,4,=60=23AB AC BAC BC BC AB ==∠∴∴⊥，，，1A A ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，1BC AA ∴⊥，1A A AB A =，BC ∴⊥平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，1BC A B ∴⊥，112223262A BC S∴=⨯= 1=232ABC S AB BC ∴⋅⋅=，111==22A AB S A A AB ⋅，111=42A AC S A A AC =⋅， 则表面积=6+23+26S（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，1A A ⊥AC ，1//MN A A ，AC MN ∴⊥，MN BN N =，∴AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，∴AC BM ⊥.在直角BAN 中，cos 1, 3.=∠==-=AN AB BAC NC AC AN 111//.3，∴==A M AN MN A A MC NC 【点睛】 本题考查三棱柱表面积的求解，解题的关键是得出1BC A B ⊥以便求出各个面的面积，考查点的存在性问题，解题关键是正确利用线面垂直关系作出辅助线.16．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，通过构造平行四边形，证明//BE FG ；（2）根据二面角的定义，可证明1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，1FGB 中，根据边长求角.【详解】证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ， 所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面//ABC 平面111A B C ，∴平面111A B C ⊥平面11BCC B ，且平面111A B C 平面1111BCC B B C =，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG AC⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==∴14FGB π∠=， ∴二面角11F A C B --的大小为4π. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.17．（1）证明见解析 （2 【分析】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，从而可证AD ⊥平面BCG ，又//EF AD ，可证.（2）过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN, 可得AM ⊥平面BCD ,则AM BF ⊥,从而BF ⊥平面AMN .从而ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案.【详解】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，且平面BCD 平面ABD BD =又BC ⊥BD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥平面ABD又AD ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥又AB BD =, G 为AD 中点，则BG AD ⊥而BG BC B ⋂=,则AD ⊥平面BCG又E 、F 分别为棱AC 、CD 中点，则//EF AD所以EF ⊥平面BCG ；（2）由AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，则ABD △为正三角形.过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABD BD=，可得AM⊥平面BCD.所以AM BF⊥,从而BF⊥平面AMN.所以ANM∠为二面角A—BF—D的平面角.设AB a，在RT AMN中，311,,sin222AM a BM a MN a DBF ===∠所以32tan61sin2aAMANMMN a DBF∠===∠则2sin2DBF∠=，则4DBFπ∠=所以RT BCD为等腰直角RT，4BD BC==由//EF AD，EF⊄平面BEF,AD⊂平面BEF,则//EF平面BEF则2111114342324432G BEF D BEF E BDF A BDF A BCDV V V V V-----=====⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥G—BEF体积为43.【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD⊥平面ABD，过A作AM BD⊥于点M，可得AM⊥平面BCD，从而得出ANM∠为二面角A—BF—D的平面角，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）1010；（3）当a=2时，PC//平面AB1D.【分析】（1）先证PD⊥PC，再由线面垂直的性质证得BC⊥PD，运用线面判定方法即可证明结果；（2）由题意先作出线面角，运用勾股定理计算三角形边长，最后求出线面角得正切值；（3）运用线面平行得判定定理证明即可.【详解】（1）证明：∵PD=PC2，CD=AB=2，∴△PCD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥PC .又∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，∴ BC ⊥平面CC 1D 1D ，而P ∈平面CC 1D 1D ，∴ PD ⊂平面CC 1D 1D ，所以BC ⊥PD .又∵PC ∩BC =C ，∴ PD ⊥平面PBC .（2）如图，过P 点作PE ⊥CD ，连接AE .∵平面ABCD ⊥平面PCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，∴∠PAE 就是直线PA 与平面ABCD 所成的角.又∵PD =PC 2，PD ⊥PC ，所以PE =1，DE =1，所以2223110AE AD DE =+=+= ∴10tan 10PE PAE AE ∠=== ∴直线PA 与平面ABCD 10 （3）当a =2时，PC //平面AB 1D .理由如下：连接C 1D ，∵a =2，∴四边形CC 1D 1D 是一个正方形，∴∠C 1DC =45°，而∠PDC =45°，∴∠PDC =90°，所以C 1D ⊥PD .又∵PC ⊥PD ，C 1D 与PC 在同一个平面内，∴PC //C 1D .又∵C 1D ⊂平面AB 1C 1D∴PC //平面AB 1C 1D∴PC //平面AB 1D .【点睛】方法点睛：在证明线面垂直或者线面平行时运用其判定定理进行证明，找线线垂直的方法有：（1）运用勾股定理逆定理；（2）已知线面垂直，由其性质得线线垂直；（3）在圆中直径所对的圆周角（4）三角形相似找线线平行的方法有：（1）有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形；（2）线面平行的性质定理；（3）直线平行的条件（同位角、内错角等知识）.19．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明. （2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离221d =，由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111112A A B C C AA B V V --=，∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，AO ==1OB ==1AB ==，∵11AA B中，111A B AB ==，12AA =，∴11AA B S =∴11122323d ⨯⨯⨯=，解得7d =， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B所成角的正弦值为：11sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.20．（1）证明见解析；（2）90；（3）M ∈平面CFG ，理由见解析.【分析】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，由线面平行的性质可得//PB MO ，可得MD OD MP OB =，由//ED BC 可得12OD ED OB BC ==，即可证明； （2）取BE 中点Q ，连接PQ ，通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ，进而可得PQ EC ⊥，再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ，即平面PBE ⊥平面PEC ，即得出结果；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，证明//FG CN ，可得,,,F C N G 确定平面FCNG ，判断M 是PEN △的重心，可得M ∈平面CFG .【详解】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，//PB 平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面CEM MO =，//PB MO ∴，MD OD MP OB ∴=， //ED BC ，12OD ED OB BC ∴==， 12MD MP ∴=，即2MP DM =； （2）取BE 中点Q ，连接PQ ，PB PE =，PQ BE ∴⊥，又平面PBE ⊥平面BCDE ，PQ ∴⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，PQ EC ∴⊥，2BE EC ==2BC =，满足222BE EC BC +=，EC BE ∴⊥，PQ BE Q ⋂=，EC ∴⊥平面PBE ，EC ⊂平面PEC ，∴平面PBE ⊥平面PEC ，∴二面角B PE C --的大小为90；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ， PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =，M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，∴M ∈平面CFG .【点睛】关键点睛：（1）本问考查线段比例关系的证明，解题的关键是由平行得出比例关系，利用等量替换求解；（2）本问考查二面角的求解，解题的关键是证明平面PBE ⊥平面PEC ，从而得出二面角为90；（3）本问考查平面的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线，延长ED 到N ，使ED DN =，通过//FG CN 得出,,,F C N G 确定平面FCNG ，再通过M 是PEN △的重心得出M 在GN 上.21．（1）证明见解析；（2）22. 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2AM CD .所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，所以//AG MN .又因为PM ===MC === 所以PM MC =，则MN PC ⊥.又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥.又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.所以MN PD MN PCMN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD .（2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=⋅△△.因为122MBC S BC MB =⋅⋅=△，112MN AG PD ====，NC ===所以122MNC S MN NC =⋅⋅=△所以1132322h ⨯⨯=⨯2h =. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.22．（1）证明见解析； （2）证明见解析.【分析】（1）推导出DE //AB ，AB //A 1B 1，从而DE //A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1． （2）推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E ．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE //AB ，AB //A 1B 1，∴DE //A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB ＝BC ．∴BE ⊥AC ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AA 1，又AA 1∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E ．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．23．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴， 又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠=︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证明BC ⊥平面PDC ，再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ，即证面面垂直； （2）先利用中位线证明//EG PM ，////GF BC AD ，再由此证明面面平行即可.【详解】（1）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD ． 又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥， 又PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC ．又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC ．（2）∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴//EG PM ，//GF BC ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴//GF AD ，∵EG 、GF 在平面PM A 外，PM 、AD 在平面PM A 内，∴//EG 平面PM A ，//GF 平面PM A ，又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PM A ．【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）18.【分析】（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF .（2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.【详解】（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ， 又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ， 所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ，因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高，由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点， 再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4， 由已知可得OB ＝42，PO ＝2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.26．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果.【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠， 13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒， 所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3na a ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =， 平面PAC 法向量()21,0,0n =，13,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,32PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD nPA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111130222302x y z z ⎧-+-=⎪⎪-=，令12z =，所以()3n =． 233cos ,4n n ==， 所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.。