第一章复习集合与简易逻辑一、本讲进度《集合与简易逻辑》复习二、复习要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、学习指导1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x ∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。

对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q 则p “，逆否命题为”若非q 则非p “。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p 则q ”而言，当它是真命题时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件，两种命题均为真时，称p 是q 的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。

从集合角度看，若记满足条件p 的所有对象组成集合A ，满足条件q 的所有对象组成集合q ，则当A ⊆B 时，p 是q 的充分条件。

B ⊆A 时，p 是q 的充分条件。

A=B 时，p 是q 的充要条件；（3）当p 和q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。

学会用集合的思想处理数学问题。

四、典型例题例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。

M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M ∩N=M={y|y ≥1}说明：实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。

一般地，集合{y|y=f(x)，x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x 2+1上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。

例2、已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B+{x|x 2-mx+2=0}，且A ∩B=B ，求实数m 范围。

解题思路分析：化简条件得A={1，2}，A ∩B=B ⇔B ⊆A根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m 2-8<0 ∴ 22m 22<<-当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解当B={1，2}时，⎩⎨⎧=⨯=+221m21∴ m=3综上所述，m=3或22m 22<<-说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x+y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个大于1。

解题思路分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y ≥2矛盾 ∴ 假设不成立∴ x 、y 中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p 则q ”为真，先证“若p 则非q ”为假，因在条件p 下，q 与非q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p 则非q ”为假时，“若p 则q ”一定为真。

例4、若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件。

解题思路分析：利用“⇒”、“⇔”符号分析各命题之间的关系 D ⇒C ⇔B ⇒A∴ D ⇒A ，D 是A 的充分不必要条件说明：符号“⇒”、“⇔”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

例5、求直线 ：ax-y+b=0经过两直线 1：2x-2y-3=0和 2：3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。

由 ⎩⎨⎧=+-=--01y 5x 303y 2x 2得 1， 2交点P （411,417）∵ 过点P ∴ 0b 411417a =+-⨯∴ 17a+4b=11充分性：设a ，b 满足17a+4b=11 ∴ 4a1711b -=代入 方程：04a1711y ax =-+- 整理得：0)417x (a )411y (=---此方程表明，直线 恒过两直线0417x ,0411y =-=-的交点（411,417） 而此点为 1与 2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“⇔”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。

五、同步练习 （一） 选择题1、设M={x|x 2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M 的关系是经济界 jjjjjjjjjjjjjjjA 、{a}=MB 、M ≠⊆{a}C 、{a}≠⊇MD 、M ⊇{a}2、已知全集U=R ，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A ∩B=φ，则a 的取值范围是 A 、 [0，2]B 、（-2，2）C 、（0，2]D 、（0，2）3、已知集合M={x|x=a 2-3a+2，a ∈R}，N 、{x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是A 、 M ≠⊆NB 、M ≠⊇NC 、M=ND 、不确定4、设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是A 、11B 、10C 、16D 、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是 A 、15B 、16C 、31D 、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 A 、所给命题为假 B 、它的逆否命题为真 C 、它的逆命题为真 D 、它的否命题为真7、“α≠β”是cos α≠cos β”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、集合A={x|x=3k-2，k ∈Z}，B={y|y=3 +1， ∈Z}，S={y|y=6m+1，m ∈Z}之间的关系是A 、S ≠⊆B ≠⊆AB 、S=B ≠⊆AC 、S ≠⊆B=AD 、S ≠⊇B=A9、方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A 、0<m ≤1或m<0B 、0<m ≤1C 、m<1D 、m≤110、已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件 （二） 填空题 11、已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M ∩N=__________。

12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。

13、关于x 的方程|x|-|x-1|=a 有解的充要条件是________________。

14、命题“若ab=0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

15、非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠⊆{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________。

（三） 解答题16、设集合A={(x ，y)|y=ax+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A ∩B 是单元素集合，求a 取值范围。

17、已知抛物线C ：y=-x 2+mx-1，点M （0，3），N （3，0），求抛物线C 与线段MN 有两个不同交点的充要条件。

18、设A={x|x 2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A ∩M=φ，A ∩N=A ，求p 、q 的值。

19、已知21x a 2+=，b=2-x ，c=x 2-x+1，用反证法证明：a 、b 、c 中至少有一个不小于1。

参考答案（一） 选择题1、C2、A3、C4、C5、D6、B7、B8、C9、D 10、A （二） 填空题11、φ 12、25，60 13、-1≤a ≤1 14、若a 、b 均不为0，则ab ≠0 15、7 （三） 解答题16、a ≥1或a ≤-1，提示：画图uu 17、 3＜m ≤310 18、⎩⎨⎧=-=16q 8p ，或⎩⎨⎧=-=10q 20p ，或⎩⎨⎧=-=40q 14p。