一次函数 知识点1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时称y 是x 的函数．注意：（1）“y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 例题1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 ，它是 ，也是 . 2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：30S t =，2S R π=． （2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．例题3：已知y －1与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－5,求y 与x 之间的函数关系式；若点 （－2，a ）在这个函数的图象上，求出a 的值.3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． （4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式． 4．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y 中，自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组 （5）应用型：实际有意义即可例题4：函数12-+=x x y 中的自变量x 的取值范围是【 】 A 、x ≥－2 B 、x ≠1 C 、x ＞－2且x ≠1 D 、x ≥－2且x ≠1例题5：函数242412----=x x x y 中的自变量x 的取值范围为_________________例题6：函数748142---=x x x y 中的自变量x 的取值范围为_________________例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的． 6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系： （1）图像1y 在图像2y 的上方⇔21y y > （2）图像1y 在图像2y 的下方⇔21y y <（3）特别说明：图像y 在x 轴上方0>⇔y ；图像y 在x 轴下方0<⇔y例题8：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为【 】A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2例题9：如图，直线(0)y kx b k =+<与x 轴交于点(30)，，关于x 的不等式0kx b +>的解集是【 】A ．3x <B ．3x >C ．0x >D ．0x < 7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线． 例题10：画出函数42+=x y 的图像8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；xx（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断 例题11：下列各点中，在反比例函数y ＝6x图象上的是【 】 A ．（－2，3） B ．（2，－3） C ．（1，6） D ．（－1，6） 10．一次函数及其性质 知识点一：一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．知识点三：一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．知识点四：一次函数y kx b=+的图象、性质与k、b的符号倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋bb＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移b个单位，对应解析式为：y＝kx－b口诀：“上＋下－”将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方②将x y程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 例题12：一次函数y kx b =+的图象只经过第一、二、三象限，则【 】 A ．00k b <>，B ．00k b >>，C ．00k b ><，D ．00k b <<，例题13：如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么【 】 A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与y 轴交点的坐标. 例题15：已知一次函数011)3()12(=+-+--k y k x k ，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.例题16：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __ 例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图象． （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．例题19：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点,则ba的值是【 】 A 、4 B 、－2 C 、 12 D 、－ 12例题20：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.11．直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k例题21：已知一次函数1+=x y ，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.12．一次函数与一元一次方程的关系：直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)bk-，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标.13．一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为a b0a、为常数，0a≠)的形式，所以解一元一次不x+<(bx+>或a b0等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.。