2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.√5C.5D.255.直线3x+2y-6=0的斜率是()A.32B.-32C.23D.-236.不等式x2-9<0的解集为()A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3}7.已知a>0,则3=()A.a 12 B.a32C.a 23 D.a138.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和53B.8和83C.7和1D.8和239.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,BD 1=2,则AA 1= ( )A.1B.√2C.2D.√3 10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同,则pq = ( )A.127B.-127C.65D.5611.设x ,y 满足约束条件{x -y +3≥0,x +y -1≤0,y ≥0,则z=x-2y 的最大值为( )A.-5B.-3C.1D.412.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( )A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2513.如图,△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,用a ,b 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,正确的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a +14b C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14bD.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a -14b14.若数列{a n }的通项a n =2n-6,设b n =|a n |,则数列{b n }的前7项和为 ( )A.14B.24C.26D.2815.已知函数f (x )={3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为( )A.[-1,1]B.(-∞,-2]∪(0,4)C.[-2,4]D.(-∞,-2]∪[0,4]二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=.17.在等比数列{a n}中,a1=1,a2=2,则a4=.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是.19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=.三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=35,bc=5.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.21.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上.(1)求证:PB⊥AC;(2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.(参考公式:锥体的体积公式V=13Sℎ,其中S是底面积,ℎ是高.)22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.答案：1.D 【解析】由并集的定义,可得A ∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.C 【解析】②不正确,a ,c 的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.3.A 【解析】要使y=log 3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=√42+(-3)2=5.故选C. 5.B 【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-32x+3,故斜率为-32.故选B. 6.D 【解析】由x 2-9<0,可得-3<x<3.故选D. 7.D【解析】√a 23=a 23,则23=aa 23=a1-23=a 13.故选D.8.A 【解析】平均数x =16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=53.故选A.9.B 【解析】在长方体中,B D 12=AB 2+AD 2+A A 12,则22=12+12+A A 12,解得AA 1=√2.故选B.10.A 【解析】∵不等式-4<2x-3<4,∴-12<x<72.∵不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同, ∴不等式x 2+px+q<0的解集为{x |-12<x <72}, ∴-12,72是方程x 2+px+q=0的两个根,∴{-12+72=-p ,-12×72=q ,解得p=-3,q=-74,∴p q =-3-74=127.故选A .11.C 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y 过点A (1,0)时,z取得最大值,z max =1-2×0=1.故选C.12.D 【解析】由题意得圆C 的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D.13.C 【解析】由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14b .故选C.14.C 【解析】当n ≤3时,a n ≤0,b n =|a n |=-a n =6-2n ,即b 1=4,b 2=2,b 3=0.当n>3时,a n >0,b n =|a n |=a n =2n-6,即b 4=2,b 5=4,b 6=6,b 7=8.所以数列{b n }的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C. 15.C 【解析】由于f (x )={3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,解得0<x ≤4;当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤3.又x ≤0,所以-2≤x ≤0. 综上不等式f (x )≤5的解集为[-2,4],故选C .16.45 【解析】由题意得x=4,y=-3,r=√x 2+y 2=√42+(-3)2=5,cos α=x r =45. 17.8 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,由题意得q=a2a 1=2,则a 4=a 1q 3=1×23=8.18.25 【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=410=25.19.-x 2-4x 【解析】当x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞),由奇函数可得f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )]=-x 2-4x.20.【解】(1)∵A 是△ABC 的内角,即A ∈(0,π),cos A=35,∴sin A=√1-cos 2A =45. 又bc=5,∴S △ABC =12bc sin A=12×5×45=2. (2)由cos A=b 2+c 2-a 22bc=35,bc=5,可得b 2+c 2-a 2=6.由bc=5,b+c=6,可得b 2+c 2=(b+c )2-2bc=26.∴26-a 2=6,解得a=2√5.21.【解】(1)∵PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PA ⊂平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,PA ∩PC=P , ∴PB ⊥平面PAC.又AC ⊂平面PAC ,∴PB ⊥AC.(2)∵PA ∥平面BEF ,PA ⊂平面PAC ,平面BEF ∩平面PAC=EF , ∴PA ∥EF.又E 为AC 的中点,∴F 为PC 的中点. ∴S 四边形APFE =S △PAC -S △FEC =34S △PAC .∵PC ⊥PA ,PA=PC=2,∴S △PAC =12×2×2=2.∴S 四边形APFE =32.由(1)得PB ⊥平面PAC ,∴PB=2是四棱锥B -APFE 的高.∴V 四棱锥BAPFE =13S 四边形APFE ·PB=13×32×2=1.22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30.(2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a 1,a 2;在[30,40)的有4人,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4.现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率为P=815.。