−x
xa 2a (a > 1, 0 ≤ x < +∞) 下方、 x 轴上方的无界区域.
(I) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a) ;
(II) 当 a 为何值时，V (a) 最小？并求出最小值.
(19)(本题满分 11 分)
求微分方程 y′′(x + y′2 ) = y′ 满足初始条件 y= (1) y= ′(1) 1的特解.
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2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当 x → 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是( )
A .1− e x
B.ln 1+ x 1− x
x→0
x
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(5) 曲线 y =1 + ln(1+ ex ) 渐近线的条数为( ) x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(6) 设函数 f (x) 在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′(x) > 0 ，= 令 un f= (n)(n 1, 2,) ，则
下列结论正确的是( )
A. 若 u1 > u2 ，则{un} 必收敛
C. 1 + x −1 D.1− cos x
1
(2)
函数
f (x) = (ex
+
e)
1
tan
x
在 [ −π
,π
]
上的第一类间断点是
x
=
(
)
x(ex − e)
A. 0
B. 1
C. − π
D. π
2
2
(3) 如图，连续函数 y = f (x) 在区间[−3, −2],[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆
2
22 2
x → 0 ，所以1− e x (− x ); 1 + x −1 1 x; 1− cos x 1 ( x )2, 可以
2
2
排除 A 、 C 、 D ，所以选(B).
方法 2： ln 1+ x = ln 1− x + x + x = ln[1+ x + x ]
1− x
1− x
1− x
当 x → 0+ 时，1− x → 1， x + x → 0 ，又因为 x → 0 时， ln (1+ x) x ，
(I)验证α1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵 B .
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2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题 (1)【答案】B 【详解】
方法 1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当 x → 0 时，
ex −1 x; 1+ x −1 1 x;= 1− cos x 2sin2 x= 2( x )2 x2 , 当 x → 0+ 时，此时
ex −e
lim
x→0−
ex
−e
f (x) 在 x = 0 存在左右极限，但 lim f ( x) ≠ lim f ( x) ，所以 x = 0 是 f (x) 的第一类
x→0+
x→0−
间断点，选(A)；
同样，可验证其余选项是第二类间断点，lim f ( x) = ∞ ，lim f ( x) = ∞ ，lim f ( x) = ∞ .
f (a) ＝ g(a) ， f (b) ＝ g(b) ，证明：存在ξ ∈ (a,b), 使得 f ''(ξ ) = g ''(ξ ).
(22)(本题满分 11 分)
设二元函数
x2,
f (x, y) =
1 ,
x2 + y2
x + y ≤1 1< x + y ≤ 2
{ } ∫∫ 计算二重积分 f (x, y)dσ ，其= 中 D (x, y) x + y ≤ 2 D
故 F (x) 为 x 的偶函数，所以 F (−3) =F (3) .
∫ ∫ 2
而 F (2) = f (t)dt 表示半径 R = 1 的半圆的面积，所以 F= (2)
2
f (= t)dt
π= R2
π
，
0
0
22
∫ ∫ ∫ ∫ = F(3)
3
= f (t)dt
2
f (t)dt +
3
f (t)dt ，其中
x→1
x→π
x→−π
2
2
(3)【答案】C
x
∫ 【详解】由题给条件知， f (x) 为 x 的奇函数，则 f (−x) =− f (x) ，由 F (x) = f (t)dt, 知 0
−x
x
x
F (−x) =∫0 f (t)dt令t =−u ∫0 f (−u)d (−u) 因为f (−u) =− f (u) ∫0 f (u)du =F (x) ，
3 f (t)dt 表示半径 r = 1 的半圆的面积
0
0
2
2
2
∫ 的负值，所以
3 f (t)dt =− π r2
2
2
=−
π 2
⋅
1 2
2
=− π 8
所以
∫ ∫ F(3) =
2
f (t)dt +
3 f (t)dt = π − π = 3π = 3 ⋅ π = 3 F (2)
0
2
2 8 8 42 4
∫ 周,在区间[−2, 0],[0, 2]上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周.设 F (x) =
x
f (t)dt, 则
0
下列结论正确的是( )
y
-3
O
-2
-1
3
1
2
x
A. F (3) = − 3 F (−2) 4
C. F (−3) = 3 F (2) 4
B. F (3) = 5 F (2)
4 D. F (−3) = − 5 F (−2)
f y′(0,
y) −
f y′(0, 0)
= 0
π
1
∫ ∫ (8)
设函数 f (x, y) 连续，则二次积分
π dx
f (x, y)dy 等于(
sin x
)
2
1
π
∫ ∫ A. dy
f (x, y)dx
0
π +arcsin y
1
π
∫ ∫ B. dy
f (x, y)dx
0
π −arcsin y
1
π +arcsin y
(23)(本题满分 11 分)
设线性方程组
x1 x1
+ +
x2 + x3 = 0 2x2 + ax3 = 0
(1)
x1
+
4 x2
+
a2 x3
= 0
与方程
x1 + 2x2 + x3 =a −1 (2)
有公共解，求 a 得值及所有公共解.
(24)(本题满分 11 分)
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2,α1 = (1, −1,1)T 是 A 的属于 λ1 的一 个特征向量.记 B =A5 − 4 A3 + E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
4
(4) 设函数 f (x) 在 x = 0 连续，则下列命题错误的是( )
A. 若 lim f (x) 存在，则 f (0) = 0 x→0 x
C. 若 lim
f (x)
存在，则
f ′(0) 存在
x→0 x
B. 若 lim f (x) + f (−x) 存在，则 f (0) = 0
x→0
x
D. 若 lim f (x) − f (−x) 存在，则 f ′(0) 存在
(15) 设 f (u, v) 是二元可微函数， z = f ( y , x ), 则 x ∂z − y ∂z = ＿＿＿＿＿ x y ∂x ∂y
0 1 0 0
(16)
设矩阵
A
=
0
0
1
0
,
则
A3
的秩为＿＿＿＿＿.
0 0 0 1
0
0
0 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
x→0+
x→0+
= 1
xl= →im0+ 1
lim
x→0+
= 1− 1
1,
x(ex − e)
ex −e
e(1− e x )
1
lim
x→0−
f (x) =
1
(e x + e) tan x
lim
x→0−
1
=
1
ex +e
lim
x→0−
1
=
lim
x→0−
ex
+
e
=
1
e= −e
−1.
x(ex − e)
(20)(本题满分 10 分)
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已知函数 f (u) 具有二阶导数，且 f ′(0) = 1 ，函数 y = y(x) 由方程 y − xey−1 = 1 所确定.
= 设 z
f
(ln
y − sin
dz x) ，= 求 dx x