下面进行讨论.
二、离散型随机变量函数的分布
1 2 5 例1 设r.v.X的分布律为 p 0.2 0.5 0.3
X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
5 Y 故
2
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,


y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy y0 0, 2 1 x 2 fX ( x) 若 x e 2
例４已知XN(,2),求
解：Y X 关于x严单,反函数为
Y
X

的概率密度。

h( y ) y
故
fY ( y) f X [h( y)] | h( y) | f X (y )
1 e 2
y 2
2 2
1 e 2
=P( X
y8 2
) = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2

2x

2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）

(
而
arcsin y
2x
0


dx arcsin y 2
2

2x

dx6 0.1
则 Y=X2 的概率函数为： Y
0 1 p 0.6 0.4
即
P(Y yn ) P{
Y的分布律为
Y
g ( xi ) yn
( X x )} p
i g ( xi ) yn
i
y1
g(x i ) y1 i
y2
g(x i ) y 2 i
思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格 单增的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的 均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
0 y1
于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函 数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
练习２ 设X～U(0,1),求Y=ax+b的概率密 度.(a≠0)
y b 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) a
故
y b 1 fY ( y ) f [h( y )] | h( y ) | f X ( ) a a 而 1 0 x 1 f X ( x) 0 others 故 y b 1 0 1 fY ( y ) a a others 0
dh( y ) , y x=h(y)是 f X [h( y )] fY ( y ) dy y=g(x)的 0, 其它 反函数
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
7 13 p 0.2 0.5 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为
X x1
x2 xk
p2 pk
p p1
Y
则Y=g(X)的分布律为
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
p
p1
p2 pk
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
如：X的分布律为 X
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y

2x
0

2
dx arcsin y
第四节
随机变量函数的分布
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.
例如，已知圆轴截面直径 D 的分布， 求截面面积 A= 的分布.
D
4
2
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？
这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的.


则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
X ~ N (0,1)
y0
2
y e

1 2

y 2
,
y0
此时称Y服从自由度为1的 分布。记为 2
Y ~ (1)
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ F (y))
1
=F(F 1(y))= y 即Y的分布函数是 y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
求导得Y的密度函数
1, 0 y 1 g( y) 其它 0,
y2 2
例5 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
不合定理条件 解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例5 设随机变量X的概率密度为
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy arcsin y 2 arcsin y 2 FY ( y) ( ) 1 ( ) 2 , 0 y 1 求导得: fY ( y ) 1 y 2 0, 其它


yn
g(x i ) y n i

p
p p
p
三、连续型随机变量函数的分布 1、一般方法 x / 8, 0 x 4 例2 设 X ~ f X ( x ) 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)，
0, 其它
FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y )
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X ( x ) 0
y8 即 8 < y < 16 时， f X ( 2 ) 0 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得

然后再求Y的密度函数

g ( x ) y
f ( x) dx
dFY ( y ) fY ( y ) dy
2、公式法：
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才 可用以上公式推求Y的密度函数。
2 注意定义域的选择 如 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
或 FY ( y ) FX (arcsin y ) FX (0) FX ( ) FX ( arcsin y )
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.