0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A E
0的都是矩阵A的特征值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
解
2 1 1
A E 0 2 0
4
1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得பைடு நூலகம்础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
得基础解系
1 p2 2, 1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
k 1,2,,m 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值 m是自然数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值. (3)当A可逆时， -1|A|是A*的特征值。
各不相等,则 p1 , p2 ,, pm 线性无关 .
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0, 类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0,
1
所以k p1(k 0)是对应于1 2的全部特征值.
当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 ) 所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
即
x1 x2 0,
x1
x2
0.
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为 p1
1 . 1
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 1
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例２
求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1. 当1 2时,解方程( A 2E)x 0.由
的特征向量.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)AA*=|A|E A*=|A|A-1
A*x=|A|A-1x=|A| -1x 所以-1|A|是A*的特征值。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、特征值和特征向量的性质
二、特征值与特征向量的性质
定理2 设1 ,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1 , p2 , , pm依次是与之对应的特征 向量.如果1 ,2 ,,m
第五章 相似矩阵及二次型
第二节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结 思考题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、特征值与特征向量的概念
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成立,那末, 这样的数 称为方阵 A的特征值 , 非零向 量x称为A的对应于特征值 的特征向量 .