2 2
，
(其中
)
将该式代入(13)的第三式中，可得到关于 的微分方程，
(14)
由微分方程(14)可解出
。这是一个超越解，我没
有能够完整还原出求解过程。但另外一种处理方式是：猜想微分方程(14)必然是结合另一个 关于三角函数的性质，能便捷地得出以上的 解的形式。则不如将以上的 解当成已知， 代入微分方程(14)内，看能得出什么关于 r 的三角函数的性质。
2
2
2
2
(23)

a2 1 a2 2 2 g n r 0 00 b2 g00 g00 n 2 r 2 a2 1 a2 a 2 n 2 r 2 a 2b 2 2 2 2 4 2 2 4 2 b2 g00 n g00 nr b 2 g 00 nr
2
(24)
r2
(25)
(21) 由上式可得
d ds g 00 t 0 d 2 2 2 2 2 r g 00 n g 00 n r sin cos ds d 2 2 2 ds g 00 n r sin 0
其中 a 和 b 是常数，a 对应粒子的能量，b 对应粒子的角动量。 选取方位角作为粒子轨迹方程的参数，
dt d 2 dr 2 2 d 2 2 2 g00 g00 n g00 n r g 00 n r sin 0 ds ds ds ds
其中 其中 是各种介质的折射率，
是反射系数， t 是金属层厚度， 阻抗率为 ，
，
为波导，而关键元素 ne 则是待求的有效折射率。 现把(2)式改写成
对于足够厚的金属层，(3)式可以化简为
根 据 (1)(4) 式 ， 并 取 ， ；则由(1)(4)式可推导而得有效折射率的表达式
以上各式用到的实验观测值如下表格：
则可将(7)式能动张量写成如下形式
(11)
T diag , p, p, p
对于爱因斯坦场方程 R

(12)
1 ，曲率标量为 R T 2
R g km Rkm g 00 R00 g11R11 g 22 R22 g 33 R33 ， R g R ，
Story About Trapping Light by Mimicking Gravitational Lensing
周楚惟 13342110 中山大学物理学院
摘要： 构造一个由空气/聚甲基丙烯酸甲酯/银/二氧化硅组成的多层平面波导， 嵌入光栅、
球形结构。利用表面张力效应，使微球附近形成一个厚度连续变化的邻域。通过 TM 模的色 散关系及其在波导中传播， 得出厚度和折射率的函数关系并得出折射率在邻域的分布。 再由 折射率(可作为度规分量的函数)作为生成函数，利用各向同性的度规求解爱因斯坦场方程， 求得物质和压强的分布、光子的运动轨迹。由光子的轨迹方程，讨论光子被捕获的临界点。
其中 5 2 tan r 2 。则(15)式可看作关于 r 的一个恒等式。 将上述关于 的形式写成指数形式，可得
(15)

(16)
(17) 则可把度规式(6)写成如下形式
ds 2
Ac 2 Ar 4 2 2 sec dt sec2 dr 2 r 2 d 2 2 4 1 r 1 r 4
样品的构造
图 2. 引力场及微观光学波导中光偏折的类比
在二氧化硅基底上覆盖一层50nm厚的银， 运用聚焦离子束(FEI ， Strata FIB 201, 30 keV, 11 pA)加工技术， 在银层中嵌入周期为310nm的光栅。 银上是一层聚甲基丙烯酸甲酯 (有机玻璃)， 有机玻璃中按2:1的比例掺杂油溶性的CdSe/ZnS量子点，这些量子点能受光线传播的激发而 产生荧光效果。聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)层上嵌入微球，由于表面张力效应，在微球的邻 域，PMMA层随着与微球距离的靠近有一个递增的关系。对于PMMA层厚度的测量可通过两 种方法：原子力显微法(atomic force microscopy (AFM))；光线的干涉。
将以上各式代入微分方程(14)中，化简可得
3 2 40r 5r 4 1 40 10r 3 160r sin r tan 2 3 tan 5 2 4 4 2 cos6 r 2 cos r 1 r cos r
图 5. 在微球附近的区域，光线发生偏折
中心对称各向同性的时空度规对微球邻域的模拟
选取球坐标，写出中心对称的时空度规：
其中 和 只依赖于径向坐标 r。爱因斯坦场方程中的能动张量为 (7) 其中 u 是四维速度，选取量纲 8 G c 1 。 假设系统处于平衡状态，该假设衍生两个条件：其中 和 只依赖于径向坐标 r；四维速度 的空间分量都为零，因此可得
图 6. a. 散射场观测强度(实验图像)。b. 根据光子的轨迹方程绘出的理论图像，从上至下的图 像对应入射光线的参数 q a b (能量和角动量的比值)依次降低， 导致光线的偏折程度递增； 到达临界点(底部的两张图像)处光子在光圈作恒定半径的公转运动，一部分的入射能量随散 射耗散掉，一部分能量用于维持光子在光圈的运动。 外部的临界点为
1 r 4 16 10r sin r 2 20r 2 24 10r 7 2 tan tan 2 4 2 4 3 2 4 2 2 cos r 1 r cos r 1 r cos r 16 10r 4 8r 24r 0 tan 4 2 2 4 1 r cos r 1 r 1 r 4 3
状态方程可用于描述星核的简并，如中子星、红巨星、白或棕矮星。
利用欧拉 -拉格朗日方程和变分原理推导光子的轨迹方程
最小作用量原理： S 0, 其中
S ds g dx dx 2 dx dx g ds ds ds
式都源于 。
1 2
1
，或写成另一形式 I 0,
I g
dx dx ds ，这两种形 ds ds
把度规写成如下形式：
，代入
I 0, I g
dx dx ds 可得 ds ds
2 2 2 2 dt d 2 dr 2 2 d 2 2 2 g00 g00 n g00 n r g00 n r sin ds 0 ds ds ds ds
u 0 g 00 e v , u1 u 2 u 3 0
u0 Hale Waihona Puke v , u1 u2 u3 0
其中度规分量为 (9)
(8)
g diag e2v , e2 , e2 r 2 , e2 r 2 sin 2
(10)
1 1 1 g v diag e2v , e2 , e2 2 , e2 2 2 r r sin
图 1. 故事思路
引言：光线的直线传播、反射定律和折射定律均可由费马定理(过两个定点的光总走光程
的一阶变分为零的路径)推导而得。在均匀介质中光的传播路线为直线，在变导率介质中光 的传播路线为曲线。 另一方面， 在伽利略坐标系中， 光子的运动轨迹为直线。 在非惯性系(时 空度规也是坐标的函数)中，光子的运动轨迹为曲线，但两者都可从最小作用量或变分原理 推导而得(测地线方程)。因此，不难将两者进行类比，通过构造变导率的介质来模拟中心天 体(大质量)附近的区域，从而实现对光子的捕获。
(27) 其中 F 是第一类椭圆积分，sn 是雅可比椭圆函数。
u F sin 1 ut4 ut
u sin 1 ut

0
d 1 ut4 sin 2
，
根据光子的运动轨迹方程(27)式，可以将理论轨迹和实验观测图像进行比对如下：
图 3. a. 微球邻域的干涉图样。b. 原子力显微法(atomic force microscopy (AFM))对PMMA 厚度的测量 利用 TM 0,6 模找出微球附近区域中折射率和距离的函数的关系。 首先根据以上的测量结果，厚度随与微球距离的函数关系为：
AFM 法的数据和干涉法的数据都显示指数 s 4 。 对于 TM 0,6 模，色散关系为
2
(22)
1 ds 该结果也可直接写出拉格朗日量 L 后利用欧拉-拉格朗日方程可得。 2 d
取

2
， g00 n r
2 2
a
a a a ，同理可得 g 00t ， t 。 2 2 g00 r n r r bg 00 r b
把以上结果代入场方程中，即可得到以下结果，
(13) 其中第三式可由能动张量的散度为零 Ti ;k 0 推导而得：
k
显然，由(13)式可推导出 和 的微分方程，但要得到仅关于 或 的一元微分方程，则需 要再添加一个条件。 根据在人工材料中模拟天体力学的相关知识， 有效折射率可以写成度规 张量分量的函数形式， n grr g00 e
l lik il g g kl 1 g l m m l Rik l k ik lm il km ， ikl g im mk ml m ，这样即可由度规 l k x x 2 x x x
的分量开始，求解场方程。
0 10 1 , 1 11 , 00 v e 2
a dr n2 r 4 r2 根据 ，可得 2 g00 r n 2 r r 2 d b