1.2子集、全集、补集 一、课本扫描 二、基本概念 1、子集的概念对于两个集合A 与B（1）如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或说集合B 包含集合A ，记作A B ⊆或B A ⊇，这时，集合A 叫做集合B 的子集。
（2）如果A B A B ⊆≠且，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊄B 。
（3）如果A B ⊆同时B A ⊆，那么A B =。
子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合A 与B 之间的关系如下：A B A B B A A B A B A BA B ⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎨⎪≠⇔⊄⎨⎩⎪⎩且 其中记号AB （或B A ）表示集合A 不包含于集合B （或者集合B 不包含集合A ）。
2、子集具有以下性质： ①A A ⊆，即任何一个集合都是它本身的子集。
②如果,A B B A ⊆⊆，那么A B =。
③如果,A B B C ⊆⊆，那么A C ⊆。
④如果,AB BC ，那么AC 。
⑤空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、关于有限集合子集个数的讨论。
①n 个元素的集合有2n个子集。
②n 个元素的集合有21n -个真子集。
③n 个元素的集合有21n-个非空子集。
④n 个元素的集合有22n-个非空真子集。
4、全集与补集设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于集合A 的元素组成的集合，叫做S 中的子集A 的补集，记作s C A 用数学式子表示为：{}S C A x x S x A =∈∉且。
如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合S 为全集，记作U 。
5、全集与补集的性质 （1）()U U C C A A =，（2）,U A U C A U ⊆⊆，（3）,U U C U C U=∅∅=6、关于全集与补集的理解（1）全集具有相对性，是相对于我们所研究的问题而言的一个概念。
如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集。
初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。
补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相互依存不可分离的两个概念。
如：{}{}{}1,2,3,4,1,2U A B ===，则{}{}2,3,4,1,3,4U U C A C B ==。
（2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集：三、基本题型例1、判断下列关系是否正确 （1）{}{}a a ⊆；（2）{}{}1,2,33,2,1=；（3）{}0∅⊄；（4）{}00∈；（5）{}0∅∈；（6）{}0∅=；（7）{}0,1,2∅⊄；（8）{}{}15x x ⊄≤ 解：（1）任何一个集合是它本身的子集，因此，{}{}a a ⊆正确；（2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确； （3）空集是任何非空集合的真子集，正确； （4）{}0中只有一个元素0，{}00∈正确；（5）∅与{}0是两个集合，不能用∈连接；（6）∅中没有任何元素，而{}0中有一个元素，二者不相等；（7）空集是任何非空集合的真子集，正确； （8）{}{}{}15,15,15x x x x <∴∈≤∴⊄≤正确。
由以上分析可知：（1）（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。
例2、已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，则这样的集合M 有多少个？分析：由已知集合M 中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的集合M 的个数是{}3,4,5的子集个数。
解：因集合{}3,4,5的子集有∅，{}{}{}{}{}{}{}3,4,5,3,4,3,5,4,5,3,4,5共8个，故满足条件的集合M 共有8个。
评注：本题易丢掉∅或{}3,4,5两个集合，若集合P 中有m 个元素，集合Q 中有n 个元素，且Q P ⊆，则满足P Z Q ⊆⊆的集合Z 共有n m Z -个。
例3、设{}{}2230,10A x xx B x ax =--==-=，若B A ⊆，求实数a 。
分析：B A ⊆，即B 是A 的子集，表明集合B 的元素都是A 的元素。
解：{}{}22303,1A x xx =--==-，∵B A ⊆，∴方程10ax -=无解或其解为3或1-。
0a ∴=或11a =-或31=a ，0a ∴=或13a =或1a =-。
评注：因为A 是二元素集，而B 的元素最多一个，所以由B A ⊆可知，B 是A 的真子集，所以B 有三种可能，在做题过程中很容易丢掉B =∅的情况。
例4、已知{}{}22,,,2,2,Ma b N a b ==，且M N =，求,a b 的值。
分析：由M N =可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。
解：根据集合中元素的无序性，有：222,,;2.a a a b b b b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩或 解方程组得1,0,0,40;1;1.2a a ab b b ⎧=⎪==⎧⎧⎪⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或或 再根据集合中元素的互异性，得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
评注：集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。
例5、设集合)(Φ≠U U 以及集合,,M N P ，且()U U U M C N C C P ==，则M与P 的关系是 。
分析：本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。
解法1：利用补集的性质，()U U U M C N C C P P ===，故M P =。
解法2：由图2-1可知。
图2-1评注：对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。
例6、已知全集{}22,0,3Ua =-，子集{}22,2P a a =--，且{}1U C P =-，求a 。
分析：要注意到(),U C P U PU ⊄⊄。
解：由补集定义知：2231,20a a a ⎧-=-⎪⎨--=⎪⎩解得：2a =。
四、A 级训练 1、列举集合{}1,2,3的所有子集：2、集合{}0与空集∅的关系为：3、若{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则a = ，b = ，c = 。
4、下列集合中，只有一个子集的集合是（ ）A 、{}20A x x =≤B 、{}30B x x =≤C 、{}20C x x=< D 、{}30D x x =<5、已知全集{}1,2,0U=，且{}2U C Q =，则集合Q 的真子集共有 个。
6、已知全集;,U M N 是U 的非空子集，若U C M N ⊇，则有（ ）A 、U MC N ⊆ B 、U M C N ⊄ C 、U U C M C N =D 、M N =五、发散思维 例1、已知{}1228,A x x m n m n Z ==+∈、，{}4,B x x k k Z ==∈，求证A B =。
证明：（1）任取x A ∈，则12284(37)x m n m n =+=+,由m n Z∈、知37m n Z +∈，x B ∴∈，即A B ⊆。
（2）任取x B ∈，则412(2)28x k k k ==-+，由k Z ∈知2,k Z x A -∈∴∈，即B A ⊆。
由（1）（2）可知A B =。
例2、已知集合{}{}22340,(1)(34)0,A x x x B x x x x A P B =-+==++-=⊄⊆，求满足条件的集合P 。
解：对于方程22340,91670,340xx x x -+=∆=-=-<∴-+=无实根，A ∴=∅。
2(1)(34)0,1,1,4x x x x ++-=∴=--，即{}4,1,1B =--。
A PB ⊄⊆，∴集合P 为{}{}{}{}{}{}{}4,1,1,4,1,4,1,1,1,4,1,1--------。
例3、已知集合{}{}1,2,40A x x x B x x p =<->=+<或，当A B ⊇时，求p 的范围。
解：40,,44p p x p x B x x ⎧⎫+<∴<-∴=<-⎨⎬⎩⎭，A B⊇，∴由图2-2得1,44pp -≤-∴≥。
图2-2评注：在本书内容中，常使用数轴，韦恩图这两类图形，在与不等式有关问题中，必须画出数轴，有利于快速解题。
例4、已知全集{}{}321,3,32,1,21Sx x x A x =++=-，如果{}0S C A =，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，说明理由。
解：{}0,0S C A S=∴∈且0A ∉。
32320x x x ∴++=，则2(32)0x x x ++=，即(1)(2)0,0x x x x ++=∴=，或1x =-，或2x =-。
当0x=时，211x -=，则A 中有重复元素，故0x ≠；当1x =-时，{}213,1,3x A S -==⊄；当2x =-时，{}215,1,5x A S -==⊄，故2x ≠-。
由以上可知，所求的实数x 存在，此时，1x =-。
六、B 级训练 1、{}{}{}22221,21,210A x y x xB y y x xC x x x ==-+==-+=-+=，{}{}{}222210,(,)21,(,)210,D x x x E x y y x x F x y xx y R=-+<==-+=-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A 、A B C D ⊆⊆⊆ B 、D C B A ⊄⊄⊄C 、E F =D 、A BE ==2、设U 是全集，N U ⊄且M N ⊆，则下列各式成立的是（ ）A 、U U C M C N ⊇B 、UC M N ⊆ C 、U U C M C N ⊆D 、U C N M ⊆3、设{}{},,4,3U UR A x a x b C A x x x ==≤≤=><或，则a = ，b = 。
4、若集合{}{}210,1,2A x x ax B =++==，且A B ⊄，则实数a 的取值范围是 。
七、综合应用与提高 例1、（1）设{}{}28150,10A x xx B x ax =-+==-=，若B A ⊆，求实数a 组成的集合。
（2）设{}{}25121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围。
分析：以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样，由于B 可能为空集，且B =∅时，仍然有B A ⊆成立，因此，都要分B =∅，B ≠∅两种情况讨论。
解：（1）28150,3x x x -+=∴=，或5x =，{}3,5,A B A ∴=⊆，∴①B =∅时，0a =。
②B ≠∅时，由B A ⊆知，3B ∈或5B ∈。