(5)传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子
多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性
所造成的。系数为实数。
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§2.3 传递函数
(6)传递函数与微分方程有相通性。把微分方程
中的
d dt
用s代替就可以得到对应的传递函数。
(7)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
(8)传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
K1 R
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§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
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§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
§2.3 传递函数
4. 微分环节
理想微分环节的特征输出量正比于输入量的
微分，其动态方程
c(t)
Td
dr(t) dt
其传递函数
G(s)
C(s) R(s)
Td
s
式中Td称微分时间常数
它的单位阶跃响应曲线 c(t) Td (t)
它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止， 输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所 示。
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§2.3 传递函数
上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输 出u0(t)，其传递函数为
G(s) U0 (s) 1 1 Ui (s) RCs Ti s
式中Ti = RC
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§2.3 传递函数
2.2.3 典型环节的传递函数
控制系统由许多元件组合而成，这些元件 的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开 具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型 来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型 环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微 分环节、振荡环节、延迟环节等。
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D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
而D(s)=0称为特征方程。
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§2.3 传递函数
(9)传递函数式可表示成
G(s) Kg (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
式 中 p1，p2……pn 为 分 母多项式的根，称为传 递 函 数 的 极 点 ； z1、 z2、… zn为分子多项式 的根，称为传递函数的 零点； Kg称为传递系 数或增益。
§2.3 传递函数
1. 比例环节
环节输出量与输入量成正比，不失真也无 时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环 节。输入量与输出量之间的表达式为：
c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为：
G(s) C(s) K R(s)
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
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§2.3 传递函数
或写为： G(s) C(s) M (s) R(s) N(s)
传递函数与输入、输出之间的关系，可用框图表示。
R(s) G(s) C(s)
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§2.3 传递函数
2.2.2 传递函数的特点及几点说明
(1)作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。 (2)传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
(a0 s n a1s n1 an1s an )C(s) (b0 s m b1s m1 bm1s bm )R(s)
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§2.3 传递函数
则系统的传递函数为：
G(s) C(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm R(s) a0 s n a1s n1 an1s an
2. 惯性环节(非周期环节)
惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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§2.3 传递函数
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为：
c(t)
L1 C(s)
L1
K Ts 1
1 s
K
(1
t
eT
)
单位阶跃响应曲线
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§2.3 传递函数
惯性环节实例很多，如 图所示的R-L网络，输入 为电压u，输出为电感电 流i，其传递函数
G(s) I(s) 1 1/ R K U (s) Ls R L / Rs 1 Ts 1
式中
TL R
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§2.3 传递函数
(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。
(4)传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数 阵表示。
第2章 线性系统的数学模型
§2.3 传递函数
输入、输出、及其各阶导数
2.2.1 传递函数的概初念始值均为零。
在零初始条件下，线性定常系统输出量
的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定27
§2.3 传递函数
若已知线性定常系统的微分方程为：
d nc(t) d n1c(t)
dc(t)
a0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得：
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§2.3 传递函数
某系统的传递函数为：
G(s) C(s) 6(s 3) R(s) (s 1)(s 2)
有两个极点和一个零点：p1=-1, p2=-2, z1=-3 有两个模态：e-t和e-2t
在输入信号为 r(t) r1 r2e5t 时，系统的零初始条件响应
为： c(t) L1[R(s)G(s)] 9r1 r2e5t (3r2 12r1)et (3r1 2r2 )e5t