➢ ANOVA变异的分解
变异分解 SST = SS A + SSB + + SSe
νT = νA + νB ++ νe
构造检验统计量 F = MS因素 MS 误 差
总变异（total variation） 以完全随机设计为例
∑∑ ∑ ∑ SS总
(xij - x)2 x2 - ( x)2 / N
H0 : 1 2 3 H1 : 1, 2 , 3 不等或不全相等 a＝0.05
2.计算检验统计量F值
SS总 S2(N -1) 0.326 0 (24 -1) 7.498 总 24 1 23
SS组间 ni (xi x )2 i 8(3.8125-4.2458)2 8(4.2375 4.2458)2 8(4.6875 4.2458)2
i1 j 1
∑x2 - C
[C (∑x)2 / N ]
总 N -1
组间变异（variation between groups）
SS组间 ni (xi x)2
i
组间 k 1
引起原因： 1.处理因素 2.随机误差（个体差异和测量误差）
组内变异（variation between groups）
A营养素 62.1 53.2 71.2 41.3 50.4 42.5 52.6 49.8 62.6 48.3 10
53.400 87.893
可以采用方差分析的方法进行分析
第一节 ANOVA基本思想和应用条件
基本概念的复习
方差： 2 X - 2 ，S 2 X X 2
N
n 1
离均差平方和（sum of square，SS）：
SS X X 2
自由度： n 1
均方（mean square，MS）：即方差
➢ANOVA的概念
ANOVA，变异数分析，最早由英国 著名统计学家R.A.Fisher提出，又称 F检验，是推断两个或多个总体均数 是否相同的统计分析方法。
表9-2 三组大鼠的全肺湿重（g）
甲组
4.2
3.3
3.7
观
察 xij
值
4.3 4.1
3.3
3.5
4.1
ni 8
xi 3.8125
Si 2 0.1698
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2 4.1 4.4 8 4.2375
a
0
F
Fa(k-1,n-k)
F 分布
➢ ANOVA应用条件
各观察值相互独立（独立性） 各样本来自正态分布总体（正态性） 各个样本的总体方差齐（方差齐性）
第二节 完全随机设计的 ANOVA
完全随机设计（completely random design）
又称成组设计，按随机化原则将受试 对象随机分配到某一研究因素的多个水平 中去，然后观察实验效应。其目的都是推 断不同水平下各组均数之间的差别是否有 统计学意义。
∑∑ SS组内
(xij - xi )2
i1 j1
组内 N - k
引起原因： 随机误差（个体差异和测量误差）
三种变异及相应自由度的关系为
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
总
构造检验统计量F
F SS组间 / 组间 MS组间 SS组内 / 组内 MS组内
处理组间差异 随机误差 随机误差
查附表7（F界值表）, P<0.01。按
a 0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异有 统计学意义，可认为不同粉尘环境影响大 鼠的全肺湿重。
第三节 随机区组设计的 ANOVA
表9-6 3种营养素喂养小白鼠所增体重（g）方差分析计算表
区组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ni xi
Si 2
3.063
组间 3 1 2
SS组内 SS总 SS组间 7.498 3.063 4.435
组内 24 3 21
表9-4 方差分析结果
变异来源 组间 组内 总
SS 3.063 4.435 7.498
MS
F
P
2 1.532 7.250 <0.01
21 0.211
23
3.确定P值，做出统计推断
请思考以下问题
①该 实 验 属 何 种 设 计 方 案 ？ 处 理 因 素是什么？有几个水平？观察指 标是什么?
②能否采用 t 检验比较不同作业环境 中的大鼠全肺湿重是否有差异？
对于小样本多组均数的比较不能采用t检 验进行两两比较
原因： • 割裂整体设计，只见树木，不见森林 • 增大一型错误的概率
表9-3 完全随机设计方差分析计算公式
变异来源
SS
ν MS
组间（处理）
ni (xi x )2
i
k-1 SS组间
k 1
组内（误差） SS总 SS组间 或 (ni 1)Si2 N-k SS组内
i
N k
总变异
x2
( x)2
N
N-1
F
MS 组间 MS 组内
【检验步骤】
1.建立检验假设，确定检验水准
统计量F 服 从 F 分布
1.组间无差异，理论上F=1 2.若处理组间有差异，则F＞1。是否统计学
意义查方差分析界值表 若F ≥Fα (νTR ,νe ) , 则P ≤0.05 若F < Fα (νTR ,νe ) , 则P > 0.05
如果H0成立， F=MSTR/MSe 1
不能拒绝H0
拒绝H0
0.1170
丙组
合计
5.6
24个观测值 3.6 彼此不同
4.5
5.1 同一组内的 4.9 观测值不同
4.7 4.8 4.3 8 4.6875 0.3469
不同组间的各 个观测值不同
24（N ）
x 4.2458
0.3260 S 2
总变异 组内变异 组间变异
各组样本均数差异可能原因：
随机误差:包括抽样误差、测量误差等
卫生统计学方三组大鼠的全肺湿重（g）
甲组 4.2 3.3 3.7 4.3 4.1 3.3 3.5 4.1 乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2 4.4 4.1 丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 4.8 4.4
即各样本来自同一总体，但由于随 机误差使得样本均数各不相等。
处理因素
即不同的处理（本例为不同的作业 环境）引起不同的作用或效果，导致 各处理组均数不同。
方差分析的基本思路
1.根据实验设计类型将总变异分解； 如完全随机设计：总变异＝组内变异＋组间变异
2.计算各部分的SS和 ν；
3.计算F值；F MSTR / MSe 4.作出统计推断。