0
0
f ( 2
) e s d
f ( 1
) e s d
0
0
即得证。
精选ppt
F (s)F (s)
2
1
11
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 称为拉氏反变换。记为 L1[F(s)] 。 由F(s)可按下式求出
f(t) L 1 [F (s) ] 1C j F (s)e sd t (ts 0 ) 2jC j
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。
即 L [t f1(t)f2()d]F 1(s)F 2(s)
0
t
t
证明： L[ f1(t)f2()d] [ f1(t)f2()d]estdt
0
00
t时，f1(t)1(t)0
t
f1(t)f2()d f1(t)1(t) f2()d
0
精选pp0t
1est
0
0 0
0 s 0
lim lim 0
1 (1es)
s
0
1 s(111!s2 2s!2 )1
精选ppt
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) e ae t sd t te (a s)td t 1e (s a )t1
0
0
s a 0 s a
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L [ f ( t ) d 2 ] ts 1 2 F ( s ) s 1 2f( 1 )( 0 ) 1 s f( 2 )( 0 )
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有 L[ f(t)dnt]s1 nF(s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
证：设 h(t)f(t)dt则有 h(t)f(t) 由上述微分定理，有
L [ h ( t) ] s[ h L ( t) ] h ( 0 )
L[h(t)]1L[h(t)]1h(0)1L[f(t)]1h(0)
s
s
s
s
1F(s)1f1(0)
s
s
精选ppt
5
即： L[ f(t)d]tF(s)f1(0) ss
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到精选的ppt 原函数的形式。 12
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏
变换 L [ fn ( t ) s ] n F ( s ) s n 1 f( 0 ) s n 2 f( 0 ) fn 1 ( 0 )
精选ppt
4
(3)积分性质 若 L[f(t) ]F(s)
则
L[ f(t)d]tF(s)f1(0) ss
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
函数除以 s n 。
精选ppt
6
（4）终值定理 lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有
L[f(t)] f(t)esd t tsF (s)f(0)
0
等式两边对s趋向于0取极限
左边
lim
f
(t)estdt
lim
f
(t)estdt
s0 0
即： L [e af t(t) ]F (s a )
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[f(t)]aF (as)
证：
a
L[f
(t
)]
f
(t
)estd
t
a 0a
令t/a,则原式 精选pfpt()esaad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
10
t
L[
f (t 1
)
f ( 2
)d
]
0
[
f ( t )1 ( t ) f ( ) d ]e st dt
1
2
00
f ( 2
)d
f ( t ) 1 ( t ) e st dt 1
0
0
令 t ,则
t
L[
f (t 1
)
f ( 2
)d
]
0
f ( 2
)d
f ( 1
) e d s ( )
精选ppt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L [f(t) ] 0 f(t)esd t ts 0 f(t)esd t tf(t)est0 s(F s)f(0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L [f( t) ]s[L f( t) ]f( 0 ) s [s( F s ) f( 0 ) ]f( 0 )
s 2 F (s ) s( 0 f) f( 0 )
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F(s) Asetd t AestA
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F(s) (t)estd t
1estd t
(5)初值定理：lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
证明方法同上。只是要将 s取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es
L [f(t) ]e sF (s)
精选ppt
8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 e at
L [ a ( t ) b f( t ) f a ] [ f ( t ) L b ] [ f ( t ) L
1
2
1
2
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。
(2)微分性质
若 L[f(t) ]F(s) ，则有 L [f(t) ]s(F s) f(0 ) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eatsinwt w
(s a)2 w2
e at
1/(s+a)
e精a选tcppot ws t
(s
sa a)2
w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
0 s0
0
f
(t)dt
f (t) 0
lim f t
(t)
f (0)
右边 lim[sF(s) f (0)] limsF(s) f (0)
s0
s0
精选ppt
7
lim f (t) limsF(s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。