(3)整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成, 即为该截面上的内力。
2.2.4 应力的概念 (4)应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕(Pa)。
1帕=1牛顿/米2 (N/m2) 1 MPa =1×106 N/m2 =1 N/mm2 = 106 Pa 1 GPa = 109 Pa
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
(+)
20kN E
求CD段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
3
3
FN3
25kN
3
D
−FN3 − 25 + 20 = 0
FN3 = 20 − 25 = −5 kN (-) 同理得DE段内的轴力 FN4 = 20 kN
20kN E
20kN E
FN1＝10 kN （拉力） FN2＝50 kN （拉力） FN3＝ -5 kN （压力） FN4＝20 kN （拉力）
现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是一个分布力系, 其合力
为FN。
m
F
m
F
} m
FN
m m
{ FN m
F
x
F
由左段的平衡方程得： ΣFx = 0, FN − F = 0 FN = F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.2 轴力
因为外力F的作用线与杆件轴线重合, 内力的合力FN的 作用线也必然与杆件的轴线重合, 所以FN称为轴力。习 惯上, 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力规定为 负。
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究 求AB段轴力 FN1＝F1＝20 kN
A F1 F1
1
BF21Fra bibliotekFN1
2
C
2
取2-2截面左侧研究 F1
F2
FN2
求BC段轴力
FN2＝F1－F2＝－30 kN
20 kN
作轴力图
30 kN
FN1 = 2.0 ×104 N, FN2 = −3.0×104 N
d1
所得FN2为负, 说明BC段轴力的实际方向 与所设方向相反, 即应为压力。
2.2.3 轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, 用垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上的轴力数值, 从而绘出表示轴 力与横截面位置关系的图线, 称为轴力图。将正的轴力 画在上侧, 负的画在下侧。
例：一等直杆其受力情况如图所示, 作杆的轴力图。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
600
300
500
400
解：求支座反力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
20kN E
ΣFx = 0, − FR − 40 + 55 − 25 + 20 = 0 FR = 10 kN
FR A
1
2
40kN
1
B2
3
4
55kN 25kN
C3
D4
20kN E
用力的作用点将杆分段 该杆分为：AB, BC, CD, DE四段。 分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}σ
FN
σ = FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。σ的符号与轴力
FN的符号相同。
当轴力为正号时(拉伸), 正应力也为正号, 称为拉应力。
当轴力为负号时(压缩), 正应力也为负号, 称为压应力。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
求AB段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
1
FR
1 FN1
1
FN1 − FR = 0
FN1 = FR = +10 kN
(+)
20kN E
求BC段内的轴力
FR
A
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
2
40kN B
2 FN2
2
FN2 − 40 − FR = 0
FN2 = FR + 40 = +50 kN
σ ( x) = FN ( x)
(2.2)
A(x)
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
(3) 若以集中力作用于杆件端截面 上, 则集中力作用点附近区域内的 应力分布比较复杂, 公式(2.1)只能 计算这个区域内横截面上的平均 应力, 不能描述作用点附近的真实 情况。这就引出, 端截面上外力作 用方式不同, 将有多大影响的问题。 实际上, 在外力作用区域内, 外力 分布方式有各种可能。例如在图a 和b中, 钢索和拉伸试样上的拉力 作用方式就是不同的。
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
FD
F
x
3F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.4 应力的概念 杆件截面上的分布内力集度称为应力。
求截面上a点的应力 包围a点取一微面积ΔA
ΔA上内力的总和为ΔF
{法向分量ΔFN
将ΔF分解 切向分量ΔFT
ΔFT
OA
B
C
D
FA
FB
FC
FD
FN1
A
B
C
D
FA
FB
FC
FD
解：求OA段内力FN1：设置截面如图
ΣFx = 0 FN1 − FA + FB − FC − FD = 0
FN1 − 5F + 8F − 4F − F = 0 FN1 = 2F
同理, 求得AB、BC、CD段内力分别为
FN2= –3F
FN2
B
FN3= 5F FN4= F
1
2
40kN
3
4
55kN 25kN
20kN
A
1
B2
C3
600
300
500
D4
E
400
50 kN
作出杆的轴力图 如图所示。
FN 10 kN
20 kN
x 5 kN
FN max发生在BC段内任意截面上。
例: 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F 的力, 方向如图, 试画出杆的轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力 只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度, 如用 同一材料制成粗细不同的两根杆, 需用应力来度量杆 件的受力程度。
研究应力的方法 ：
（1）实验 （2）观察现象 （3）通过观察到的现象得出结论 （4）通过结论推导出应力公式
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平行的纵向线和 与轴线垂直的横向线。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
由于已假设物体是均匀连续的可变形固体, 因此在物体 内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续 分布的内力系, 而将分布内力系的合成(力或力偶), 简 称为内力。也就是说, 内力是指由外力作用所引起的、 物体内相邻部分之间分布内力系的合成。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
显示拉(压)杆横截面上的内力, 沿m-m假想地把杆件分成两部分,
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d＝200 mm、壁厚 δ＝5 mm的薄壁圆环, 承受
p＝2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器（参考内容）
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为