即
1 an 1 an1 bn1 0 cn1 2 1 a n a n1 bn1 (4.2) 2
类似可推出
1 bn bn 1 c n 1 2
(4.3)
cn=0
(4.4)
将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得
an bn cn an1 bn1 cn1
x ( n) b n cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x (0) b 0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA， Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
由（4.5）式递推，得
(4.6) （4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角 库D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,… n 其中 0
x
( n)
Mx
( n 1)
M x
2
( n 2 )
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好 （S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为 Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1
例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
p11 A p21 p31
p12 p22 p32
p13 p23 p33
例4.7 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考 i+1时段状态 状态转移概率 虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于 S1 S2 S3 S4 系统之外四种状态，分别 以S1，S2，S3和S4表示 S1土壤含 0.4 0.4 0 0.2 这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中 磷 的磷以0.4 的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统 S2牧草含 0.1 0.3 0.6 0 外的概率为 0.2 ；牧草中的含磷以 0.6 的概率被牛羊 磷 i时段状 吃掉而转换到牛羊体内， 0.1的概率随牧草枯死腐败 态 S3羊体含 0.7 0 的概率因粪便排泄 0.2 0.1 归还土壤；牛羊体中的磷 以 0.7 磷 而还归土壤，又以自 身0.1的比率因屠宰后投放市 S4流失系 0 0 0 1 场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链 统外 来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：
0) x ( n ) M n x (，其中
因此
1 0 1 , P 1 P 0 0 2 1 1 1
1 1 0 2 1 1 1 1 0 0 2
x
( n)
PD P x
n
1 0 0 0 1 1 1 2 1
即
n n 1 1 1 1 1 1 2 2 a n n n 1 1 1 (n) x bn 0 2 2 c n 0 0 0 n n 1 1 1 a0 b0 c 0 b0 c0 2 2 n n 1 1 1 ＝ b0 c0 2 2 0
a0 b 0 c0
所以有
n n 1 1 1 a n 1 b0 c0 2 2 n n 1 1 1 b b c —— 母体的基因型 n 0 父体 0 2 2 1 2 4 c n 0 AA－ Aa－Aa aa－aa AA n 1 AA 1 0 1/4 后 当 时， 0 n ，所以从（ 4.7）式得到 2 代 Aa 0 0 1/2 基 an 1, bn 0, cn 0 因 aa 0 1 1/4 即在极限的情况下，培育的植物都 是 AA 型。 型 若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合， 而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基 因型的概率如 表所示。
并且
1 1 4 0 1 M 0 0 M的特征值为 2 0 1 1 1 1 1, 2 1, 3 4 2 通过计算，可以解出与 1 、 2 相对应的两个线性无关的特 征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3： 1 0 1 , e 0 , e 2 e1 0 2 3 1 1 1
M x
n
( 0)
这里 1 ， 2 ， 3 是矩 阵M的三个特征值。对于 (4.5)式 中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0

D 0
n
1
2

3 0
1

n 2
n 3
1
2
3
因此
1 D 0 0
例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
（a）假设：令n=0,1,2,…。 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布： a0 a n
通过计算，P-1=P，因此有
x
( n)
PD P x
n
1
(0)
0 1 1 1 1 n 1 0 ＝ 0 1 2 2 0 0 1 0 0
0 0 0
1 a0 1 1 0 1 2 b 0 1 0 0 c0

j 1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 父体——母体的基因型 个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果 我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和 a控制的，（ A、 AA AA AA Aa Aa aa a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为 AA， － － － － － － Aa，aa。 AA Aa aa Aa aa aa 0 0 0 后 AA 1 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成 代 Aa 0表所示。 1 0 每种基因型的概率，如 基 因 aa 0 0 0 1 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究 型 一个较简单的特例 。
1 0 0
因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。
1 1 an a0 b0 , bn 0, cn c0 b0 2 2
例4.9 常染体隐性疾病模型 现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在 一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中， 家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者 经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾 病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者， 并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病 患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么 未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出 现显性特征，不会受到疾病的折磨。
根据假设(I)，可递推得出：
an bn cn a0 b0 c0 1
对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为
x
M 0 0
( n)
Mx
( n1)
, n 1,2,
(4.5)
其中 1 1 0 2
1 2 0
a n （注：这里M为转移矩阵的位置） 1 , x ( n ) b n 0 cn
1 1 n 1 a n a0 b0 2 2 n 1 b n b0 2 1 1 n 1 cn c0 b0 2 2 n
1
(0)
0 1 0 0 0 n 1 2 1 1 0 1 2 1 1 2 0 1 0 a0 b 0 c0
解得：
当
1 ，所以 时， n 0 2
0 1 2 0
0 1 1 1 e 1 e 2 0 , e1 0 2 3 0 0 0 1
所以
1 1 1 P e1 e2 e3 0 1 2 1 0 0