n
nT )e
nsT
st
dt
理想抽样后的信号的 Z变换与L变换的关系
令抽样序列为：
其z变换为：
x(n) xa (nT )
X ( z)
sT
n
x ( n) z

n
由此看出：当z e 时，抽样序列的z变换 等于其理想抽样信号的拉氏变换。
引言

上节我们讨论了连续信号的理想抽样， 这节我们利用它来讨论离散信号的z变换 与连续信号的拉普拉斯变换、付里叶变 换的关系。
理想抽样后的信号的拉氏变换
ˆa (t )， 设连续信号xa (t ), 理想抽样后的抽样信号x 它们的拉氏变换为：
st ˆ ˆ a (t )e dt X a (s) x a
ˆ ( s) X ( z ) z e sT X (e ) X a
sT
Z平面与S平面的映射关系
z平面与s平面的映射关系 z e z平面用极坐标表示：
sT
s平面用直角坐标表示： s j
z re
T
jw
则可得 因而
z re e e e T re w T
1 jw
n
x ( n )e
jw

jwn



X (e )e dw
jwn
单位圆上的序列的z变换即为序 列的付里叶变换
X ( z ) z e jw 1 w 2k X (e ) X a ( j ) T k T
jw jw
序列的付里叶变换（即离散序列的频谱）为：
DTFT [ x(n)] X (e )
1 DTFT [ X (e )] x(n) 2
信号的频谱


若已知抽样序列x(n),如何求出输入 信号xa(t)的频谱？ （1）先通过sz的映射关系，去找 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号 xa(t)的拉普拉斯Xa(s)的关系。
1 ˆ ( s) X ( s jk ) X a a s T k 1 1 2 X a ( s jk s ) X a ( s j k ) T k T k T
jT
1 2 ) X a ( j j k ) T k T

数字频率和模拟频率的关系
ze
j
在以后的讨论中，我们用数字频率 来作为z平面上单位圆的参数，即
数字频率w表示z平面的辐角，它 和模拟角频率的关系为
f T 2 fs fs
看出：数字频率是模拟角频率对抽样频率的 归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对 比值乘以2.
jw
( j )T
jT
r与的关系
re
T
（1）=0(s平面虚轴)，对应于r=1(z平面 单位圆上)。 （2） <0(s的左半平面)，对应于r<1(z平 面单位圆内)。 （3） >0(s的右半平面)，对应于r>1(z平 面单位圆外)。
数字频率与模拟频率之间关系
T
（1）=0(s平面实轴),对应于=0(z平面正实轴)。 （2）= 0(常数)(s平面平行于实轴的直线),对应于 =0T(z平面始于原点辐角为的辐射线)。 （3）由-T增长到T，对应于由-增长到，即s 平面为2T的一个水平条带相当于z平面辐角转了一 周，也就是覆盖了整个z平面。 （4） 是一个周期函数，2一个周期 。即s平面到z 平面的映射是多值映射。
X ( z ) z e sT
(2)其次，讨论x(n)的z变换X(z)和xa(t) 的付里叶变换Xa(j)的关系。
X ( z ) z e sT X（e
jT
ˆ ( j) ) X a
说明：抽样序列在单位圆上的z变换，就等 于其理想抽样信号的付里叶变换。
X ( z ) z e jT X (e