习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。

⑷21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。

⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。

⑴如果3+3=6，则雪是白的。

⑵如果3+3≠6，则雪是白的。

⑶如果3+3=6，则雪不是白的。

⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。

⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。

(假定是10进制)⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。

⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。

解：设p：3＋3＝6。

q：雪是白的。

⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。

⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。

⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)⑶((Øp→q)↔(r∨s))⑷(p∧q→rs)⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。

解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。

2.设p：天下雪。

q：我将进城。

r：我有时间。

将下列命题符号化。

⑴天没有下雪，我也没有进城。

⑵如果我有时间，我将进城。

⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

解：⑴p∧q⑵r→q⑶p∧r→q3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。

⑴r∧q⑵¬ (r∨q)⑶q↔ (r∧¬ p)⑷(q→r)∧(r→q)解：⑴我有时间并且我将进城。

⑵我没有时间并且我也没有进城。

⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。

⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。

4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。

⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。

⑵如果张三和李四都不去，他就去。

⑶我们不能既划船又跑步。

⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧ q)∨(p∧q)。

⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。

⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。

⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。

5. 用符号形式写出下列命题。

⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

⑵我今天进城，除非下雨。

⑶仅当你走，我将留下。

解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。

⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。

⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。

习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：⑴A A⑵若A B，则B A⑶若A B，B C，则A C证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A A成立。

⑵因为A B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A 也是一个永真式，所以，B A成立。

⑶对A、B、C的任一赋值，因为A B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A C成立。

2.设A、B、C是任意命题公式，⑴若A∨CÛB∨C, AÛB一定成立吗？⑵若A∧CÛB∧C, AÛB一定成立吗？⑶若¬AÛ¬B，AÛB一定成立吗？解：⑴不一定有A B。

若A为真，B为假，C为真，则A∨C B∨C成立，但A B 不成立。

⑵不一定有A B。

若A为真，B为假，C为假，则A∧C B∧C成立，但A B不成立。

⑶一定有A B。

3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)⑶(p∨q)↔(q∨p)⑷(p∧Øq)∨(r∧q)→r⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。

表1.24p q p→q q∧(p→q)q∧(p→q)→p00101011101000111111使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。

⑵p→(q∨r) 的真值表如表1.25所示。

表1.25p q r q∨r p→(q∨r)0000100111010110111110000101111101111111使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p →(q∨r)成假的赋值是：100。

⑶(p∨q)↔(q∨p) 的真值表如表1.26所示。

表1.26p q p∨q q∨p (p∨q)↔(q∨p)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。

⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。

表1.27p q r q p∧q r∧q(p∧q)∨(r∧q) (p∧q)∨(r∧q)→r00010001001100010100000101100111100110101 0 1 1 1 0 1 1 1111 1 1 0 0 1 1 1使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成假的赋值是：100。

⑸((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r ) 的真值表如表1.28所示。

使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成假的赋值是：100。

4.用真值表证明下列等价式： ⑴(p →q )p ∧q证明：证明(p →q )p ∧q 的真值表如表1.29所示。

表1.29pq p →q(p →q ) q p ∧q0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 111由上表可见：(p →q )和p ∧q 的真值表完全相同，所以(p →q )p ∧q 。

⑵p →q q →p 证明：证明p →q q →p 的真值表如表1.30所示。

表1.30p q p →q p q q →p表1.28pqrp ∧qp →(p ∧q )(p →(p ∧q ))→r q ∧r((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 111111001111011101100010111001由上表可见：p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→q q→p。

⑶(p↔q)p↔q证明：证明(p↔q)和p↔q的真值表如表1.31所示。

表1.31p q p↔q(p↔q) q p↔q001010010101100111111000由上表可见：(p↔q)和p↔q的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。

⑷p→(q→r)(p∧q)→r证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。

表1.32p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见：p→q r p q r p(q→r)(p∧q)→r。

⑸p→(q→p)p→(p→q)证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。

表1.33p qq→p p→(q→p) p q p→q p→(p→q)00111111 0101101111110001由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)p→(p→q)。

⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)证明：证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。

表1.34p q p↔q(p↔q) p∨q p∧q (p∧q) (p∨q)∧(p∧q)00100010010110111001101111101100由上表可见：(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)⑺(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)证明：证明(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表1.35所示。