题组教学：“探索—研究—综合运用”模式——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计【课例解析】1教材的地位和作用本节课是人教 A 版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。

通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。

2学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。

在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。

本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。

【方法阐释】本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学” 模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展” 五个教学环节．本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。

接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。

【目标定位】1 知识与技能目标掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。

进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2 过程与方法目标经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。

培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3情感与价值观目标通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。

激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

感悟数学的简洁美、对称美。

4教学的重点和难点本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。

能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。

本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。

【课堂设计】一、创设情景、导入新课教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。

在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。

学生2:在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

我的思考：在推导等比数列求和公式时，有的小组根据等比数列求和公式的形式，想到用裂差消项求和法。

这节课就是从学生的这种想法开始, 继续下去就能解决一类问题。

等比数列求和公式用裂差消项求和法证明如下:q =1.na i a 〔q i -qi -q二、题组探索、自主探究教师：请同学们思考下列探索性题组中问题解法: 出示探索性题组（多媒体投影） 求和：=（i 一］）（丄一丄）d 一丄）• （丄 2 2 3 3 4 ni+ ------ +…+7 9(2n -i) 2n i学生独立思考后，各小组讨论交流各自的想法，各小组选派代表在全班交流。

学生3;第一题去掉括号后，除第一项和最后一项外，其余各项都能消去。

“ i nSn _ i数列通项a n丄 「 i 一丄才一丄二丄 4 n n i n i n i使学生体会到自己的一个想法， 再a i i -q2 2 _ a i q ) ( a i q _ a i q ) (a i q 1 —q"(i _q i —q"(i _q3 n_ia i q a i q - )時八-:U'(—一i -q i-q a i q n i -qa i (i —q n ) i -qS n2.S n3.s n4.S n+ 5 88 ii (3n -i) 3n 2n+i n+i学生4:第2题的每一项与第一题相同，每一项都可裂成两项,所以,1 1 1教师：用a n对吗？为什么？n 汇（n +2 ）n n +2学生5:不行了，很明显，左右是不相等的关系。

教师：怎样改变呢？1学生5:待定系数法，配平系数，达到平衡。

应该乘以-2和第2题相似，每一项也可裂成两项实现裂差消项求和。

数列的项-(m m 2 2 mmi),所以,2\、 2 丿2(2 3丿2 <3 4 丿2 <2 n—1 2n + 1 丿=1(1 12n 1n 2n 1学生6:第4题的变形与第3题类似13n -1 3n 2 1( 1 1 、3®—1 3n+2 丿(1 1 L1(1 1 Y 1(1 1 \ 1 (1—--丨中一—--i + -—-+…+12 5 丿3<58丿3<811丿3<-1 1 n3 2 3n 2 - 2(3n 2)变式问题：求和1__________ 1 ____________ 1 ____1 (1k) (1 k)(1 2k) (1 2k)(1 3k) (1 (n - 1)k)(1 nk) 学生7:每一项同样可裂成两项，通过裂差消项求和法求和：1( 1 I 仃1 1 Y 1 1 xS n = — 1 一--- I +— . -------------- --- -------------- |+ + ---------------------------------- --- -------------- ki 1+k 丿kl1+k 1+2k 丿kJ+( n — 1)k 1 + nk 丿n-1)k 1+nk )\4(1- 11 nkn 1 nk结论：般地，｛a n｝是公差为d的等差数列, 111 "313n 2 -------- i+…+1 2k教师：通过以上探索性题组我们发现什么结论呢? （学生表述，教师点评，补充。

）111则：S n -一——a i a 2 a 2a 3a n a n屮教师小结：分母为等差数列的某相邻两项之积， 而分子为常量的分式型数列的求和，将它的每一项分解为两项差的形式，前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂差消项求和法。

三、题组研究、汇报交流 出示研究性题组3.求和：22. 42(2n)21 3 3 5(2n -1)(2n 1)(学生分组讨论解题思路，教师巡回，对个别学生问题进行指导，师生共同讨论。

)教师：观察研究性题 1和探索性问题的解法有何不同呢？学生&有所不同，消去的项不一样了。

前面和后面各有两项没有消去， 前面是两正项,后面是两负项。

1 1、 1 1、1 ( ‘1 1 ) —— —+ — — — - +da 2丿 da3丿d 1an an"1丿1 'na n + /a i a n +求数列的前n 项和。

n(n 2)2.求数列------------------ …的前n 项和?(2n -1)(2n 3)'(2n T)(2n 3)4'2n -1 2n 3)解：数列的通项公式可变形为:a n1 1 1_1 1 •「1 「二 所以：Sn 一 2「32 2 4 23 52》3丿(24丿＜3 5丿「1一丄 1.2 n 1 n(3n 5)1 n +2 丿 2,2(n +1( n+2)3 2n 3一4( n 1)(n 2)学生9:方法与第1题类似解：通项a n(分组讨论解题思路，教师做适当点拨和引导，学生展示解题过程。

1 n +1学生 11： lg(1 ) =lg lg(n 1) - lg n n n1 11 1 所以，S n =lg(1 -) lg(V -) lg(V ；厂lg(1 —)1 23n= (lg2-lg1) (lg3-lg2) (lg4-lg3) jlg(n 1) - lg n) 一Ig1 lg( n 1) = lg( n 1)学生12:也可不裂项变为各项相乘约项。

1 1 11 11 S n =4【(1一5)(3R )( ) ( 4 5 3 71 1 1 1 二―(1 — - —)二5 92n -3 n(4n 5)分母是奇数列相邻两项的乘积； 从教师分析：研究性题3中数列的分子是偶数的平方， 上面的经验看：该数列求和使用裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。

注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；考虑到(2n )2 =(2n )2 一 11 = (2n - 1)(2n 1) 1所以使用处理分式函数的常用手段，分离常数法即可把分子化为常数。

变形如下:(2n)2学生 10 解：an= (2n ；)；2n 1 厂I) " (2n -1)(2n 1)=1 丄-^-2 2 n-1丄-—=n 1(1-亠=n 亠3 5(2n -1)(2n 1) 2 2n 12n 1(学生说题，锻炼学生的表述能力，思维能力)教师：以上裂项求和类型大家掌握的比较好了，我们一起看下面的问题:四、题组综合、巩固提高求数列，lg(1十丄)r 前n 项的和。

n .2. 求数列丿的前n 项和3.nn 1 n 2求数列的前项和'+■4/(0 g+33(Zg+lg+l111 1 解：S n 仙 1)lg(1 2)lg(1 3) lg(1讣= ig (2)ig(|) ig (3) ig(^^~)n 1 )=lg(n 1) n教师：很好，这又是一个好想法，课后同学们可探究一下有哪些数列求和适用这种方法。

教师：对于第2题，很明显，我们没法进行合并，分母也不是两个积的乘积形式，不太 符合以上方法。

我们搜寻一下，以前我们见过这种式子吗？对它有什么变形方法？学生13：以前我们处理过这种无理式，可以分母有理化。

对 （大部分学生也发现了这种方法），有理化后就变成两项之差的形式，同样可用裂差消项求和法。

（学生板演解题过程）.3 .2二卅2 -1〕亠匚3 - 2亠 亠〔n 1 - . n=n 1 -1学生开始兴奋起来，课堂上气氛达到了空前高涨。

学生说明答案。

教师：对于第3题，我们又遇到新问题。

分母变成三项积的形式，如何变形（学生纷纷试验各种裂项的方案。

）学生：还是应该考虑裂项的方法。

我最先试验的是能否像探索性题组那样分裂成也解决不了相消的问题。

教师：你们希望什么样的变形？学生：我希望也像探索性问题一样，每一项分裂成两项的差，并且要能消项才行。

教师：对，“两项、能消项”，你们有想法就要设法按照自己的思路试一下。

学生14：我有了一个想法，按照“两项、能消项”的要求, 变成1、丄的和差形式。

两项又必须相对对称的，我们先考虑最简单的两项的n n 十1 n +2中，第一项和第二项都有 2出现，是否可考虑让作差的两个式子2 3 4 二 lg( 1 2 3解：分母有理化，----- - =J n +1 一亦 • n 1 一 n,且 S n = 9，贝U n = _________的和差形式。