2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.
第一部分 选择题（每小题分，共81分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，
，{}345B =，，，那么集合A B 等于
A. ∅
B ．{}3
C ．{}1,2,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
2. 函数()f x =是 A. (,1]−∞
B. [0,)+∞
C. [1,)+∞
D. R
3. 如果指数函数()x
f x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点(2,4)，那么a 的值是
A.
B ．2
C ．3
D ．4
4. 将函数sin y x =的图象向右平移
π
3
个单位，所得图象对应的函数表达式是 A ．π
sin()3y x =−
B. π
sin()3y x =+
C. π
cos()3
y x =−
D. π
cos()3
y x =+
5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于
A ．AC
B ．BD
C ．BC
D ．CD
1
3
V Sh =S h 3
6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴
重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是
A ．35
B ．34
C ．45
D ．43
7. 已知向量1
(1,)2
=−a ，(2,)m =b ，且a
b ，那么实数m 的值是
A ．1−
B ．12
−
C ．12
D ．1
8. 已知直线11
:2
l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥，那么实数a 的值是 A. 2−
B. 12
−
C.
12
D. 2
9. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱AB ，BC ，CD ，1CC 所在的直线中，与直 线1BC 成异面直线的是
A. 直线AB
B. 直线BC
C. 直线CD
D. 直线1CC
10. 计算12
216log 4+的结果是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
11. 在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我
爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容
量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
12. 计算5π
tan
4
的结果是 A. 1−
B. 2
−
C.
2
D. 1
13. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中
随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是
A. 1
4
B.
13
C.
12
D.
34
14. 计算cos69cos24sin69sin24︒︒+︒︒的结果是
A.
12
B.
C.
D. 1
15. 经过点(1,0)，且斜率为2的直线的方程是
A. 220x y −+=
B. 220x y −−=
C. 210x y −+=
D. 210x y −−=
16. 已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，a 与b 夹角为30︒，那么⋅a b 等于
A. 1−
B.
C. D. 2
17. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，
12A A AB AC ===，那么三棱锥1A ABC −的体积是
A. 43
B.
83
C. 4
D. 8
18. 已知ABC △中，60A ∠=︒，45B ∠=︒
，AC =，那么BC 等于 A. 1
B.
C. 2
D. 4
19. 函数2()log 2f x x =−的零点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
20. 已知两条直线m ，n 和平面α，那么下列命题中正确的是
A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n
C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若//m n ，//n α，则m α⊥
21. 如图，给出了偶函数()f x 的部分图象，那么(2)f 等于 A. 3−
B. 1−
C. 1
D. 3
22.
（新合格考不考，期末考试考）圆22
1x y +=的圆心到直线20x y −+=的距离是
A.
B.
C. 2
D. 23.
（新合格考不考，期末考试考）已知直线l 经过(1,0)−
，两点，那么直线l 的倾斜角的大小是
A. 30︒
B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒
24.
（新合格考不考，期末考试考）圆22(1)1x y +−=与圆22
(1)1x y −+=的公共点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
25. 已知函数,0,()1
,0.x x f x x x
⎧⎪
=⎨<⎪⎩≥ 如果()2f m =−，那么实数m 的值是
A. 8−
B.
2−
C. 1
2
−
D. 1
26. 如果函数2
()2f x x ax =−在区间[0,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是
A. (,0]−∞
B. (1,0]−
C. (0,1]
D. [0,)+∞
27. 2007年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃
煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施. 2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果. 2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.
上图是2000年至2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是
A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降
B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降
C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米
D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年
第二部分 解答题(共19分)
28．（本小题满分5分）
某同学解答一道三角函数题：“已知函数()cos f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的
最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]6
π
−π上的最大值．”
该同学解答过程如下：
阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.
AB A =， 问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．
问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每
一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
①PA BC ⊥； ②PA AC ⊥； ③BC ⊥平面PAB ； ④BC PB ⊥．
（新合格考不考，期末考试考）已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，直线
:4l y x =−+与圆C 交于M ，N 两点，求||MN .
（Ⅰ）指出上述解答过程中的错误之处； （Ⅱ）写出正确的解答过程.
31. （本小题满分4分）
2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史
上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章. 某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣. 通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位: 千米/秒）满足ln
m M
V W M
+=，其中W （单位: 千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：吨）表示它装载的燃料质量，M （单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.
（Ⅰ）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨
燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到0.1）
（Ⅱ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值
不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数e 2.71828=⋅⋅⋅，ln3 1.10≈）。