概率部分1.1 概率这门课的特点与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。

但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。

一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。

记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。

所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。

记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。

1.2 概率第一章《随机事件和概率》本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。

虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。

填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如)()(B A P AB P =、)|()|(A B P A B P =、)(C B A P ++这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。

在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题，比如事件A 若与事件B 有包含关系A B ⊃，则可作图长方形内的点都属于B 的范围，圆形则代表A 的范围。

这样一来即易看出事件包含关系的定义“A 发生时B 必发生，B 发生时A 不一定发生”；事件A 与B 的并B A ⋃可作图，则B A ⋃是A 、B 两个圆形（包含相交部分），对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于A 就是属于B ，体现了B A ⋃ “事件A 与B 至少有一个发生”的定义；同理，事件A 与B 的差B A ⋂表示事件A 与B 同时发生，在上图中所有满足条件的点组成了两圆相交的那一部分。

对于其它的概率运算公式也可用图辅助理解，有的题甚至可以直接通过作图来得到答案。

如公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃可以借助右图表示公式左端的)(C B A P ⋃⋃等于A 、B 、C 三个圆形各自互不相交的三部分再加上dc b a ,,,四小部分，而公式右端中的)()()(C P B P A P ++代表的区域包括A 、B 、C各自互不相交的三部分)2222(d c b a +++=，比左端多加了一次c b a ,,和两次d ，这时等式是不平衡的；再减去)]()()([AC P BC P AB P ++即是c b a d c d a d c b a ++=+-+-+++)()(3222，与公式左端所代表的图形相比只少了一块d ，加上即可，故再加)(ABC P 后等式成立。

区别互斥、互逆、对立与不相容：事件A 与事件B 互斥也叫A 与B 不相容，即φ=⋂B A ，事件A 与事件B 对立就是A 与B 互逆，即为A 与A 的关系。

公式组⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=-=)3(),()()()()2()|()()()1()()()(相互独立B A B P A P AB P A B P A P AB P B A P A P AB P 在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。

这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件A 、B 同时发生的概率等于A 发生的概率减去A 发生而B 不发生的概率；（2）式表示事件A 、B 同时发生的概率等于A 发生的概率乘以在A 发生的条件下B 也发生的概率；当A 、B 相互独立时，也就是指事件A 与事件B 的发生互不影响，此时应该有)()|(B P A B P =、)()|(A P B A P =所以)()()|()()(B P A P A B P A P AB P ==由（2）式即可得出（3）式。

出题人从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。

1.3 第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和中心极限定理》对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。

这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。

而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多——因为考察的重点不一样。

所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。

陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。

对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。

也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。

同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。

本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。

对于一维连续型分布的性质可借助图像理解因为分布函数}{)()(x X P dx x x F b≤==⎰∞-ϕ，所以}{x X P ≤}{b x a P ≤≤分别可用图中的阴影部分表示，容易看出多条性质，包括1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ、)()()()(122121x F x F dx x x x x P x x -==≤<⎰ϕ等；而且在具体做题时用图像辅助理解也很有效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。

陈文灯复习指南第三章《随机变量的数字特征》也是用表格说话的，同样需要认真记好。

本章在历年真题中最常出现的题目考察点是几个重点公式，尤其是式子)()())(()(222X E X E X E X E X D -=-=，大\小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而以另一端设置答案。

还有数学期望EX 与方差DX 的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：数学期望EX 方差DX⎰∞-=x dx x x EX )(ϕ （连续型）)()(22x E x E DX -=c c E =)(0)(=c D )()(X cE cX E = )()(2X D c cX D =c X E c X E +=+)()()()(X D c X D =+)()()(Y E X E Y X E +=+)()()(Y E X E Y X E -=-),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+ 若X 、Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+、)()()(Y D X D Y X D -=-（历年真题不止一次利用这个点作为填空和选择题中的小陷阱，因为一不留神就会写成)()()(Y D X D Y X D -=-，正如)()()(Y E X E Y X E -=-一样，但实际上),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+）若X 、Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E =DX 无对应性质若X 、Y 相互独立则同时具有以下4条性质： 1. )()()(Y E X E XY E = 2.)()()(Y D X D Y X D +=+ 3. 0),(=y x ρ 4. 0),cov(=y x ，利用各式定义可以推导出来。

考试大纲对第四章《大数定理和中心极限定理》的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律，了解格林定理和林莫佛定理”。

这三个“了解”在历年真题中的体现就是本章内容几乎是不考的，只出现过直接考察公式定义的小题。

同时本章的几个公式、定理也不好记，推导就更不是什么简单任务了。

即便如此，以上的信息也还是不能成为放弃这一章的理由，因为对于这样“又难、大纲要求又低”的知识点考试时出题的深度也会是最浅的。

如在真题中出现过的一个本章的填空题几乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，这样的情况对于难度低的知识点和重要知识点来说是绝不可能出现的，比如若你在06年考研数学试卷上见到一道填空题是让填出)()(22x E x E DX -=这个公式的话，那你肯定是把题义理解错了。

所以花时间记住这几个公式其实是比较划算的，因为如果考试出一道有关的填空题，4分的得失将完全取决于记没记住公式。

这样的4分当然要比在大题中绞尽脑汁得到的4分好拿的多。

从另一方面说，这些定理也是可以理解的：本章所有的大数定理都是指在独立同分布且存在数学期望的条件下若干随机变量的平均值依概率收敛到均值的期望，即∑∑==−→−n i n i i P i X n E X n 11)1(1。

因为i X 独立同分布，所以有μ=)(i X E ，故有公式右侧∑====n i i X nE n X E n 1)(1)(1μ，应有1)1(lim 1=<-∑=∞→εμni i n X n P ，即为辛钦大数定律；若用n Y 表示在n 重伯努利试验中事件A 的发生次数则可得到伯努利大数定律1)(lim =<-∞→εP nY P n n 。

通过以上的分析可以减少一些死记硬背的难度。