金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 . 9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e有两个极值点. ①数a 的取值围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,数M 的取值围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.(1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 11. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =， 所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若12m n ⋅=-.则11sin[2]622x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯132326-=⨯-⨯=.16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ， 平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<， 令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==， 故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==122-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为 同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==， 即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=， 所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===， 所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++.因为322322(21)n n k b k ---=+， 所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=， 把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-，221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<， 所以,实数M 的取值围是28(0,)1e +.高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x+-⨯+-=， 即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=.22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13xC y+=上任取一点(3cos,sin)Pθθ(02)θπ≤≤，则点P到直线l的距离为|3cos sin4|2dθθ+-=|2sin()4|32πθ+-=，02θπ≤≤，当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max32d=.23. 解(1)设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A=-2211(1)25p=--=，解得35p=.(2)依题意, X的所有可能值为0,1,2,3,且24(0)(1)25P X p==-=,2(1)(1)P X p p==-24(1)(1)125p p p+--=，327(3)125P X p===，故(2)1(0)P X P X==-=54(1)(3)125P X P X-=-==.X的概率分布列为:数学期望24()2125E X=+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD所在直线为x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系D xyz-，易得1(0,2,3)A B=-,设BE a=,则(0,2,)AE a=，因为1A B AE⊥,所以1(0,2,3)AB AE⋅=- (0,2,)430a a⋅=-=，解得43a=,即4(0,2,)3AE=,又1(2,2,3)D B=-,(2,2,0)AC=-,所以1(2,23)D B AE⋅=-4(0,2,)03⋅=,所以1D B AE⊥,且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC⋅=-⋅-=，所以1D B AC⊥，又AE AC A=，所以1D B⊥平面AEC.(2)4(0,2,)3AE=，1(2,0,3)D A=-，1(0,2,3)DC=-，设平面1ACD的一个法向量(,,)n x y z=，则110,0,D A nD C n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x zy z-=⎧⎨-=⎩令0z=，则3x y==，即(3,3,2)n=，sin|cos,AEθ=<|||||AE nnAE n⋅>=⋅22222423=2342+()3+3+23⨯⨯=⨯286=.。